第6章二叉树模型与美式期权(金融工程与风险管理-南京

Copyright©Linhui,DepartmentofFinance,NanjingUniversity1金融工程与风险管理第6章二叉树模型与美式期权26.1概述二叉树期权定价（BinomialoptionPricingModel）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简单和直观的方法二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权）定价模型的基本手段对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型给出。3ASimpleBinomialModelAstockpriceiscurrently$20Inthreemonthsitwillbeeither$22or$18StockPrice=$22StockPrice=$18Stockprice=$204StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?A3-monthcalloptiononthestockhasastrikepriceof21.5ConsiderthePortfolio:longDsharesshort1calloptionPortfolioisrisklesswhen22D–1=18DorD=0.2522D–118DSettingUpaRisklessPortfolioD股股票－1份期权=无风险证券→1份期权=D股股票-无风险证券66.2单期二叉树期权定价模型考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间只有1期，τ=T-t假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机变量。当前股票价格为st=S是已知的，到期股票价格为sT，且满足,1,(),1,()1uuTTddTTssuSSuPssqssdSSdPssq其中，u为上涨因子，d为下跌因子7sT=su=uSsT=sd=dSstq1-q问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B（相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入N股股票（股票多头）。目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买权完全相同。8在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本为tNsBNSB在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全相同则必须满足uuruddrdvNsBecvNsBec且由上两式得到()/()()/[()]()/[()]()/()/[()]udududduududrddrudrNccssccudSBscscsseNscedcucude由此得到的组合称为合成期权（syntheticoption），由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为NSB()()(1)(1)()(1)[(1)]tudududurdrrurdrrrurdrrrurdrudrcNSBccdcucccdceuceSudSudeudcdecueeduececeudududededcecepcpceududredherepud，10例子假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％（连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种可能：180美元或者60美元，求期权的价值？sT=su=us＝180sT=sd=ds=60stq1-qct？cT=cu=max(0,Su-112)=68cT=cd=max(0,Sd-112)=011()/()(680)/(18060)0.57()()/(0.57600)/1.0831.48()ududddrNccssBNsce股元1.08100600.418060rrdudedesspudss－[(1)]25.18(udrtcpcpce美元)12Dicussion:Risk-neutralprobability1.pisRisk-neutralprobabilityforallsecurities。stock’sexpectedrelativereturnis(1)(1)udrrrspspsededyudeSudud0[(1)]/udrcsypcpcceyOption’sexpectedrelativereturnisSo，pisavariablewhichmakeriskfulstockandcalloption’sexpectedreturnarebothonlyrisklessinterestrate.Fortheabovereason,Wecallp“riskneutralprobability”.13Dicussion:Risk-neutralprobability2.在风险中性世界中，主观概率q没有出现。虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并不影响对期权的定价结果。投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u，d这三个客观因子。(1)[(1)]rrrdrtudrededceceududpcpce14Dicussion:Risk-neutralprobability风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风险中性的。若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必然等于B。若sT＝su[()/()]uududuurvccssscBe若sT＝Sd[()/()]dududddrvccssscBe15投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险的证券。组合的贴现率只能是无风险利率由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的定价。基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就不必考虑风险问题。16由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多段处理，首先介绍两阶段模型。6.3两阶段二叉树定价模型两阶段模型（Two-stepbinomialtree)若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个，并且令h为每个阶段的时间长度22Tth17两阶段模型示意图stctsu,cuuduuddsd,cdsuu,cuusud,cudsdd,cdd其中，u＝1/d18第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d，则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。期权到期日价值的所有可能值为两阶段模型22max(0,)max(0,),max(0,)max(ma0,)max(0x(0,),)uuuutudduudddddcsXuSXsSccsXScsXdSXudX19由1阶段模型可知，在风险中性条件下[(1)],[(1)]uuuudrhdudddrhcpcpcecpcpce222[(1)][2(1)(1)]udrhtuuudddrhcpcpcepcppcpce,rhedherepud注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也正是阶段平分的优点。2022max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)max(0,)uuuuudduudddddudcsXuSXccsSXScsXXXXdS2222222[2(1)(1)][max(0,)2(1)max(0,)(1)max(0,)]uuudddrhtrcpcppcpcepuSXppSXpdSXe当前时刻t，期权的价值为,theresS21定价思路：倒推定价法1.首先得到2期节点的股票价格，从而得到该期的期权价格。2.采用风险中性定价，通过贴现得到1期节点的股票价格和期权价格。3.由1期的股票价格得到期权价格，得到当前期权的价格。4.风险中性定价下，每一期的风险中性概率都是相同的。22将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶段，每个阶段的长度为h6.4n阶段二叉树定价模型Tthnn标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程。数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项分布收敛于正态分布思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。23标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期，股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次，到期日T股价ST为,0,1,...,jnjTsSudjn由概率论可知，sT服从二项分布（binomialdistribution)，所以，具有j次上涨，n-j次下降的股票价格sT的概率为(1)jjnjnCpp!()!!jnnCnjj24recall：binomialdistribution假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球取到白球的概率是p=M/N。若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p)(;,)(1)!,!()!jjnjnjnbjnpCppnnhereCjjnj25recall：binomialdistribution由于b(j;n,p)刚好是二项式[(1)]npp的系数00(;,)(1)[(1)]1nnjjnjnnjjbjnpCpppp(1)jjnjnCpp例如第j项就是故上述分布又称为二项式分布，并且成立26recall：binomialdistribution由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n→∞，可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中心极限定理）。设随机变量Yn~b(j;n,p)，则随机变量22(1)01(;,)()2(1)knpxknppiknpbinpedxNnpplim()()(1)nnYnpPyNynpp27参照2阶段模型的思路，从最后的n期（T时刻）开始逐期向前推导，则期权在当前时刻t的价格为00[(1)max(0,)][(1)max(0,)]njjnjjnjnrhtnjnjjnjjnjrnjcCppSudXeCppSudXe公式意义：在风险中性世界里，将期权到期时所有的可能值对当前时刻贴现，并以风险中性概率加权，得到的是期权现值的期望值。此期望值是期权的真实值吗？28Forexample:two-stepbinomialtrees222220002022211111222202022222[(1)max(0,)][(1)max(0,)](1)max(0,)](1)max(0,)][(1)max(0,)]2(1)max(0,)]max(0jjjjjrhtjrhrhrhrrcCppSudXeCppSudXeCppSudXeCppSudXepSdXeppSXep