高三复习：解三角形-知识点、题型方法归纳

1绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1．正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3．余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5．常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径（两边夹一角）；6．三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC中，ABC，所以①sinsinABC；②coscosABC；③tantanABC；④sincos,22ABC⑤cossin22ABC7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45.（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1．在ABCV中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C．3D．322．在ABCV中，2223abcbc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3．设ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,若coscossinbCcBaA,则ABCV的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定4．若△ABC的三个内角满足7:5:3sin:sin:sinCBA，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形25．在ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6．在ABC中，3AB,1AC,30A，则ABC面积为()A．32B．34C．32或3D．34或327．已知ABC的三边长3,5,6abc，则ABC的面积为()A．14B．214C．15D．215考点四：利用正余弦定理求角8．在锐角中ABC,角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于()A．12B．6C．4D．39．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定10．在ABC,内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B()A．6B．3C．23D．56考点五：正余弦定理实际应用问题11．如图：A，B是海面上位于东西方向相距533海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．三、高考真题赏析1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【解析】(Ⅰ)由cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA得cosAcosBsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinC2，所以CBCsinsinsin2，由正弦定理，得cba2=+．（Ⅱ）由abcabbaabcbaC22222222)(cos211231223123222)(bacabc．所以Ccos的最小值为21．2．（2016年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.【解析】（I）证明：由正弦定理sinsinsinabcABC可知原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABC∵A和B为三角形内角,∴sinsin0AB则，两边同时乘以sinsinAB，可得sincossincossinsinBAABAB3由和角公式可知，sincossincossinsinsinBAABABCC原式得证。（II）由题22265bcabc,根据余弦定理可知，2223cos25bcaAbc∵A为为三角形内角，0,A，sin0A则234sin155A，即cos3sin4AA由（I）可知coscossin1sinsinsinABCABC，∴cos11sintan4BBB∴tan4B3．（2016年全国I）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc（I）求C；（II）若7,cABC△的面积为332，求ABC△的周长．【解析】(1)由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC∵πABC，0πABC、、，∴sinsin0ABC∴2cos1C，1cos2C∵0πC，∴π3C⑵由余弦定理得：2222coscababC即221722abab∴237abab∵1333sin242SabCab∴6ab∴2187ab5ab∴ABC△周长为57abc4．(2015高考新课标2)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．(Ⅰ)求sinsinBC；(Ⅱ)若1AD，22DC，求BD和AC的长．5．（2015高考四川，理19）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantantantan2222ABCD的值.ABCD46．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在RtABC中，60A，6AB，点D、E是斜边AB上两点．(I)当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求CDCA的值；(II)当点DE、在线段AB上运动时，且30DCE，设ACD，试用表示DCE的面积S，并求S的取值范围．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=3216，231ABAD.∵CDCAAD，∴2()CDCACAADCACAADCA2||||||cosCAADCAADCA，=9+2×3×cos120º=6.（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCACACDsinsin，即)120sin(233)120sin(233CD.在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECACACEsinsin，即cos233)90sin(233CE，∴cos233)120sin(2334130sin21CECDSDCEcos)120sin(11627，令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，∵f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθcossin21cos2322sin212122cos123)2sin212cos23(2143)602sin(2143，由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴0≤sin(2θ+60º)≤1，∴43≤f(θ)≤2143，∴)32(4≤)(1f≤334，∴)32(427≤DCES≤12327．