求方程组的解典型例题

西安交通大学线性代数与解析几何典型例题第4章n维向量与线性方程组第一节消元法典型例题（A）例1.若线性方程组βAX中，方程的个数少于未知量的个数，则有()(A)βAX必有无穷多解(B)0AX必有非零解(C)0AX仅有零解(D)0AX必无解解应选(B).方程的个数即系数矩阵A的行数m，未知量的个数即A的列数n，已知nm，则nmnmr},min{)(A，故选(B).注0AX有无穷多解并不意味着βAX有无穷多解，βAX也可能无解.例2.适用于任一线性方程组的解法是()(A)逆矩阵求法(B)Cramer法则(C)消元法(D)以上方法都不对解应选(C).因为方程组的系数矩阵未必是方阵，即使是方阵，也未必可逆.例3.通过消元法得到的阶梯形线性方程组与原方程组是.解应填等价或同解.消元法实际上就是对),(βA（或A）作初等行变换.例4.在线性方程组βAX中，nnija)(A，ijA为ija的代数余子式，T21),,,(nbbbβ，又已知niiinjjjAbAa121224,2，则未知量2x.解应填-2.由Cramer法则即知2242x.例5.下列齐次线性方程组有非零解需满足.0030204321432143214321bxaxxxxxxxxxxxaxxxx解应填2)1(4ab.齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量个数，而西安交通大学线性代数与解析几何典型例题])1(4[4100014001010111100140010101111113111121111241)1(4,3,2341abaaaabaaaabaararrrii则2)1(4ab.例6.非齐次线性方程组βAX，对增广矩阵),(βAA施以初等行变换得41000311002011010001，则其解为.解应填T)4,1,3,1(.因4)(),(AβArr（也为未知量个数），故方程组有唯一解：1,32,13,4132434xxxxxx.例7.非齐次线性方程组βAX，对增广矩阵),(βAA施以初等行变换得000000543210111111，则其通解为.解应填T3T2T1T)1,0,0,4,3()0,1,0,3,2()0,0,1,2,1()0,0,0,5,4(kkk（321,,kkk为任意常数）.因2)(),(AβArr，而未知量个数5n，又000000543210432101000000543210111111212)1(rrr，则有等价（同解）方程组543243254325431xxxxxxxx，于是有000000000543243254355434543354325431xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，即西安交通大学线性代数与解析几何典型例题0005410043010320012154354321xxxxxxxx（543,,xxx为任意常数）例8.非齐次线性方程组βAX，对增广矩阵施以初等行变换得100002104321，则其通解为.解应填无解.因为2)(3),(AβArr，故βAX无解.例9.试用三种方法求下列线性方程组的解：3533233212321321321xxxxxxxxx解因系数矩阵为方阵，且其行列式易算得01||A，故有：方法一（逆矩阵法）103230012110001121100533010332001121),(1213)2()3(rrrrEA1331001210103760011331000121100011213132212332)1()2()3()1()1(rrrrrrrrrr，则1331213761A，唯一解0013211321Axxx.方法二（Cramer法则）0333232121,0533322111,1533332121,1||A唯一解0,0,1321xxx.方法三（消元法）：010001101121023001101121353323321121),(231213)3()2()3(rrrrrrβA西安交通大学线性代数与解析几何典型例题01000010100131322311)1(,)1(2rrrrrrrr，则3)(),(AβArr，有唯一解1,0,0123xxx.例10.设线性方程组2876544320654325432154325432154321xxxxxbxxxxxxxxxaxxxxx(1)ba,为何值时，该方程组有解？(2)求其通解.解(1)对增广矩阵作初等行变换abaabarrrr424321043210243210111112876544321006543211111),(1214)2()4(βAB记作aabaarrii2200000200000243210111112)1(4,3所以，当1a，则22ab时，方程组有解.(2)由(1)知，将2,1ba代入B中，再作初等行变换24321033210124321011111121)1(rrB有同解方程组243233254325431xxxxxxxx，即000000000243233254355434543354325431xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，则0002310043010320012154354321xxxxxxxx，其中543,,xxx为任意常数，此即为通解.第二节向量组的线性相关性典型例题（A）西安交通大学线性代数与解析几何典型例题例1.设向量β可由向量组mααα,,,21线性表示，但不能由向量组I：121,,,mααα线性表示，设向量组II:βααα,,,,121m，则mα()(A)不能由I线性表示，也不能由II线性表示(B)不能由I线性表示，但可由II线性表示(C)可由I线性表示，也可由II线性表示(D)可由I线性表示，但不可由II线性表示解应选(B).因为如果mα能由I线性表示，则依题意知β也可由I线性表示，此与已知条件矛盾，故mα不能由I线性表示（所以选项(C),(D)已被排除）.依题意设mmmmkkkkααααβ112211，则必有0mk，于是1122111mmmmmmmkkkkkkkαααβα，所以选(B).例2.若向量组T3T2T1),,(,)0,1,1(,)0,0,1(zyxααα线性无关，则必有()(A)zyx(B)0zy(C)0z(D)0z解应选(D).行列式z|),,(|321ααα，所以选(D).例3.若向量βα,线性相关，则()(A)kk,βα是非零数(B)其中必有一个零向量(C)βα,一定是非零向量(D)βα,对应分量成比例解应选(D).(A),(B),(C)都不是必须的.例4.设n维向量组I:sααα,,,21及向量组II:tβββ,,,21均线性无关，且I中的每个向量都不能由II线性表示，同时II中的每个向量也都不能由I线性表示，则向量组III:sααα,,,21,tβββ,,,21的线性关系是()(A)线性相关(B)线性无关(C)可能线性相关，也可能线性无关(D)以上均不对解应选(C).(D)显然不对.现取I:)0,0,1,0(),0,0,0,1(21αα，II:)1,0,0,0(),0,1,0,0(21ββ,则I、II满足题目所有条件，而III是线性无关的；又取I:)0,0,1,0(),0,0,0,1(21αα，)0,1,1,1(3α，II:)1,0,0,0(),0,1,0,0(21ββ，则西安交通大学线性代数与解析几何典型例题I、II也满足题目所有条件，但III是五个四维向量必线性相关.所以选(C).例5.向量组mααα,,,21)2(m线性相关的充分必要条件是()(A)mααα,,,21中至少有一个零向量(B)mααα,,,21中必有两个向量成比例(C)mααα,,,21中至少有一向量可由其余向量线性表示(D)mααα,,,21的任一部分组都线性相关解应选(C).(A),(B),(D)只是充分条件，而非必要条件.例6.若向量组321,,ααα线性无关，则必有32132ααα0.解应填.线性无关的向量组作线性组合得零向量当且仅当所有系数均为0.例7.把m维向量组的每个向量添上mn个分量)(nm成为n维向量组，若m维线性无关，则n维向量组线性；若n维向量组线性相关，则m维向量组线性.解应填无关，相关.依据定理即有.例8.若向量组4321,,,αααα与向量组321,,βββ有如下关系：3421332123211322βαββαβββαβββα，则向量组4321,,,αααα线性.解应填相关.多数向量可以由少数向量线性表示时，前者必线性相关.例9.下列向量组是否等价?若等价，写出线性表示关系式.(1))1,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321ααα和)3,2,1(),2,1,1(),1,1,0(321βββ；(2)T2T1)1,2,2(,)1,1,1(αα和T3T2T1)3,0,4(,)2,1,3(,)1,4,0(βββ.解(1)分别对),,,,,(T3T2T1T3T2T1βββααα及),,,,,(T3T2T1T3T2T1αααβββ作初等行变换即可.321100110010211001321100211110110101),,,,,(3)1(2,1T3T2T1T3T2T1rriiβββααα由此可知，3213321231132,2,αααβαααβααβ.西安交通大学线性代数与解析几何典型例题101110010110100321100321110211101110),,,,,(3112)1(T3T2T1T3T2T1rrrrαααβββ11100001011010032123rr.由此可知，321,,ααα不能由),,(321βββ线性表示，它们