选修4-5基本不等式(人教A版高中数学)

基本不等式.,,,,并给出证明以定理的形式给出下面将它为了方便同学们学习不等式要重过学经我们已Rbaabba222.,,,,等号成立时且仅当当那么如果定理baabbaRba2122.,,,,成立等号时当且仅当所以时等号成立当且仅因为证明bababaabba02222?吗定理你能从几何的角度解释探究1..,;,,.,22211baSSbEFCEFGaABABCDbaCEFGABCD正方形正方形那么中在正方形中在正方形如图为例以bbbaaABCDEFGKIJH211.图的长和矩形矩形JCDIBCGH.,,abSSbaJCDIBCGH2矩形矩形它们的面积和是宽为均为的公共部分是正和和矩形矩形JCDIBCGH.1解释定理借助几何画板如果所实数a,b作为线段长度，那么可以这样来解释定理.,,相等形其面积与正方等于它的边长方形CEFGbJCGKbbbaaABCDEFGKIJH211.图,.,,时当且仅当即的面积的和与正方形于正方形它不大影部分的面积阴中图于等就和上述两个矩形的面积baabbaCEFGABCDab2222.,,abbaCEFGABCD222即面积和方形与正等于正方形积阴影部分面两个正方形,所以两个矩形成为以下的就可以得到作简单的恒等变形将定理,1基本不等式).(inequalitybasic.,.,,等号成立时当且仅当那么如果基本不等式定理baabbaba202bababa222因为证明.,abbaab22所以.,,等号成立时即当且仅当baba:,,,,,,,不等式可以表述为基本于是的为的为我们就称都是正数如果meangeometricbaabmeanarithmeticbababa2算术平均几何平均.)(它们的几何平均等于即大于或小于两个正数的算术平均不.不等式的几何意义下面我们讨论一下基本.,,,,.bBDaADABOCABABCRtCD上的中线是斜边上的高中斜边是中在图311AODBC311.图.baABOC2121,于是,090ADCA因为.,BDCAAB所以090,,~,BDCDCDADDBCRtDCARt从而于是.动画解释基本不等式AODBC311.图..abCDbCDCDa所以即.,,,abbaCDOCOCDRtba2所以大于直角边斜边中在时当.,,abbaCDOCABABCRtba2所以重合和高上的中线斜边时当.:,小于斜边上的高三角形斜边上的中线不直角是基本不等式的几何意义综上所述可知?其他几何解释吗你能给出基本不等式的探究.,;,:的周长最短正方形在所有面相同的矩形中的面积最大正方形中在所有周长相同的矩形求证例213:,.,,,问题就转化为这样面积为为那么该矩形的周长宽为设矩形的长为分析xyyxyx2?,,最大有什么关系时那么正数为定值从而如果xyyxyxyx21?,,最小从而有什么关系时那么正数为定值如果yxyxyxxy22.,式证明所以可以利用基本不等间的数量关系及两个正数的和与积之由于基本不等式恰好涉.动画解释上述分析过程.,yx宽为设矩形的长为解.,为定值即设矩形周长为定值lyxl221,xyyx2根据基本不等式.xyl4可得,,162lxy矩形的面积于是.,,162lxy取得最大值积面形时即当且仅当矩形是正方等号成立,时当且仅当yx.,,,Syxyx42值取得最小周长矩形是正方形时即当且仅当等号成立时当且仅当.,为定值即设矩形面积为定值SxyS2,xyyx2根据基本不等式,Sxyyx442矩形的周长;,,,,:,取得最大值它们的积时则当且仅当是定值如果它们的和对两个正实数下面结论从基本不等式可以得到一般地PyxSyx.,,取得最小值它们的和时则当且仅当是定值如果它们的积SyxP.问题值小决一些最大利用基本不等式可以解ABCDEFGHMNPQ.,;,,.,)(,,)(,,..,并求出这个最小值最小为何值时当关系式的函数关于试建立米长为元设总造价为元造价每平方米坪上铺草图中四个三角形再在四个空角元平方米造价为每铺花岗岩地坪图中阴影部分同的矩形上在四个相元造价为每平方米坛上建一座花计划在正方形域平方米的十字型地构成的面积为和是由两个相同的矩形图它的主体造型平面图场所角形的休闲某居民小区要建一座八SxxSxADSMNPQEFGHABCD21802104200200411411.图411.图ABCDEFGHMNPQ,,200412xyxyDQ则米设解.xxy42002从而于是2228042104200yxyxS22224200280420042104200xxxxxx22400000420038000xx411.图ABCDEFGHMNPQ2240000040002xx由基本不等式可知,800004000004000222xx.0001180008000038S所以.,.,等号成立时即当且仅当163000400000422xxx.,.,元最小值取休闲场所总造价米时约为当由此可知000118163SAD几何画板动画实验演示