高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。2.演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。（3）反证法的思维方法:正难则反．．．．5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。二、典型例题例1.已知，猜想的表达式为（B）A.；B.；C.；D..例2.已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有例3.已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=（*）并给出（*）式的证明.解：一般形式:证明：左边=====（将一般形式写成等均正确。）2()(1),(1)1()2fxfxffx*xN（）(fx）4()22xfx2()1fxx1()1fxx2()21fxx*111()1()23fnnNn3(2)2f(4)2f5(8)2f(16)3f7(32)2f2n*21(2)()2nnfnN23150sin90sin30sin22223125sin65sin5sin2222323)120(sin)60(sinsin2222)2402cos(12)1202cos(122cos1)]2402cos()1202cos(2[cos2123240cos2cos120sin2sin120cos2cos2[cos2123]240sin2sin]2sin232cos212sin232cos212[cos2123右边232223sin(60)sinsin(60),22223sin(240)sin(120)sin2例4．若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而=∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=n2（n∈N*）三、课后练习1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是(B)A.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)B.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)C.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈N*)D.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)[解析]记数列为{an}，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知当n≥2时，an比an－1多n，可得递推关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)．2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是(D)A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[解析]当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.3．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则(D)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13cba,,62,32,22222xzczybyxacba,,cba,,0,0,0cba0cba3)632()1()1()1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba3)1()1()1(222zyx222)1(,)1(,)1(zyx030cba0cbacba,,B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[解析]项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.4．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(D)A．大于0B．小于0C．不小于0D．不大于0[解析]解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.5．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是(B)A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a、b大小不定[解析]a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1c0，cc－10，所以c＋1＋cc＋c－10，所以ab.6．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是(C)A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形[解析]∵sinAa＝cosBb＝cosCc，由正弦定理得，sinAa＝sinBb＝sinCc，∴sinBb＝cosBb＝cosCc＝sinCc，∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．7.观察式子：，…，则可归纳出式子为（C）A、B、C、D、474131211,3531211,23211222222121131211222nn121131211222nnnnn12131211222122131211222nnn解析：用n=2代入选项判断。8.设，，n∈N，则解：，由归纳推理可知其周期是49.函数由下表定义：若，，，则4．10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）12.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。13.用分析法证明：若a0，则。答案：证明：要证，)()(,cos)('010xfxfxxf'21()(),,fxfx'1()()nnfxfx)(2008xfxcos()fx05a1()nnafa0,1,2,n2007a48ncbacbba311cbacbba3113cbcbabacba1cbabac))(()()(cbbabaacbc222bacac60cos2222caacbacacb222222bacac212122aaaa212122aaaax25314()fx12345只需证。∵a0，∴两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。∴原不等式成立。14.中，已知，且，求证：为等边三角形。解:分析：由由所以为等边三角形15．已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥13.[证明]由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.212122aaaa2222)21()21(aaaa)1(222211441222222aaaaaaaa)1(22122aaaa)21(2112222aaaa2122aaABCBabsin323CAcoscosABC32,323sinsinsin32sin3sin323AABABBabCACAcoscosBCA3ABC