中考数学一轮复习第1-22讲教学设计+导学案+精练-人教版35〔优秀篇〕

第20讲:等腰三角形一、复习目标1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题二、课时安排1课时三、复习重难点能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。四、教学过程（一）知识梳理等腰三角形的概念与性质定义有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形线段的垂直平分线定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合（二）题型、技巧归纳考点1等腰三角形的性质的运用技巧归纳：(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换．(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换．考点2等腰三角形判定技巧归纳：要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等．考点3等腰三角形的多解问题技巧归纳：因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况．故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况．考点4等边三角形的判定与性质技巧归纳：等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．（三）典例精讲例1如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．[解析]先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形，再结合点E是DF的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，∠DAE＝∠FBE.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴△ADE≌△BFE.(2)EG与DF的位置关系是EG⊥DF.∵∠GDF＝∠ADF，又∵∠ADE＝∠BFE，∴∠GDF＝∠BFE，∴GD＝GF.由(1)得，DE＝EF，∴EG⊥DF.例2、已知：如图锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．[解析](1)利用△BDC≌△CEB证明∠DCB＝∠EBC；(2)连接AO，通过HL证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论．解：(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠DBC＝∠ECB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．(2)点O是在∠BAC的平分线上．连接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴点O是在∠BAC的平分线上．例3已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝0.5BC，则△ABC底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．60°[解析]首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析．如图(1)：AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，∠ADB＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，即此时△ABC底角的度数为45°；如图(2)，AC＝BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°.∴∠CAB＝∠B＝180°－∠A2＝75°，即此时△ABC底角的度数为75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.故选C.例4数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图20－4①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE________DB(填“”“”或“＝”)（1）（2）(2)特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE________DB(填“”“”或“＝”)．理由如下：如图20－4②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果)．（1）=（2）=方法一：等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC.∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，且ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠FCE.又∵∠DBE＝∠EFC＝120°，∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF，∴AE＝BD.方法二：在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝120°.∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE，ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∴∠BED＝∠ACE.∵FE∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，∴△AEF是正三角形，∠EFC＝180°－∠ACB＝120°＝∠ABD.∴△EFC≌△DBE，∴DB＝EF，而由△AEF是正三角形可得EF＝AE.∴AE＝DB.（3）3)1或3.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握等腰三角形的概念、性质与判定、等边三角形、线段的垂直平分线的运用。（五）随堂检测1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是.3.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是.4.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明).(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.五、板书设计等腰三角形六、作业布置等腰三角形课时作业七、教学反思借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。1、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。2、你心里最崇拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。3、你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。4、不要觉得全心全意去做看起来微不足道的事，是一种浪费，小事做的得心应手了，大事自然水到渠成。5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。7、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。8、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。9、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。10、你的假装努力，欺骗的只有你自己，永远不要用战术上的勤奋，来掩饰战略上的懒惰。11、时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命才真正开始。12、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。13、你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。1、人家伸出手拉你一把，也请你别忘了用力狗刨，别太在意姿势是否难看，因为最难看的其实并不是苦苦挣扎，而是把自己活成一个软体动物，死乞白赖地往对方身上倚靠。2、不成熟的爱是——因为我需要你，所以我爱你;成熟的爱是——因为我爱你，所以我需要你。3、人这一生啊，需要你‘做自己’的关键时刻太多，反而是在这些小事上，去做做别人也没什么不好。一个人在努力向上爬的时候，背后其实是敞开的，就算掉下来没人接着，也尽量别让他人在你背后捅上一刀。4、你的生活不要太用力了，犯错误和呼吸一样平常和必须，只要你不偏执地一错再错。通常，你最大的错误就是急于证明自己，一个人50%的错误，长点儿记性就能解决和避免。5、能给人底气和自信的，从来都不是长相与装饰，而是一个人解决问题的能力。6、你可以狡黠，