14.2空间直线与直线的位置关系

复习引入：1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？(1)、相交：有且仅有一个公共点。(2)、平行：在同一平面内没有公共点。互相平行提出问题：空间中的如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线之间的位置关系呢？复习公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?例题讲解例1：如图，已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的面ABCD上一点，经过点P作棱AB的平行线，应该怎样作，并说明理由。jD1C1CDB1ABA1P例3：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD2121例题讲解EHFGABCD分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形变式练习在例3中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.23CFCGCBCDABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。变式练习提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠B'A'D'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？复习2.等角定理定理1：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。ABCDEF新课讲授定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。ABCDEF定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.新课讲授3.空间中两条直线的位置关系观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?观察长方体的棱所在直线,回答类似的问题.思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？要用数学的眼光看世界异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线abaabb为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:1、相交2、平行ml只有一个公共点没有公共点在同一平面空间中两直线的三种位置关系3、异面mPl没有公共点不同在任一平面mlP按平面基本性质分共面相交直线平行直线不共面异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间中直线与直线之间的位置关系发挥你的想象力:练习1：下列说法是否正确（1）,则与是异面直线（2）不同在平面内，则与是异面直线,,baabba,ab其中ba,表示直线，,表示平面。a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。abab,,baC1D1C1B1ADBAba,不同在平面内ab答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。想一想,做一做：1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？MNC1D1C1B1ADBA例题：2.已知：直线l与平面a相交于点A，直线m在平面a上，且不经过点A，求证：直线l与m是异面直线。注：常用反证法证明两条直线是异面直线。练习提升“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ,且a不平行于b；②a平面，b平面且a∩b=Φ③a平面，b平面④不存在平面，能使a且b成立1、上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对CC3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面DD4.异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，aAb(1)怎样求两条异面直线所成的角呢？解决设想abb′a′Oa″概念形成异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题a″思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?b′a’O∠1aa″b∠2答:这个角的大小与O点的位置无关.理论支持:定理1结论:③两异面直线所成角的范围为：0,20,2空间两直线所成角的范围：②当异面直线和所成角为直角时，记为abab①角的大小由异面直线的相对位置决定，与点的选取无关O例1.如图,在正方体中,棱长为1,求下列异面直线所成角的大小''''ABCDABCD(1)与'CC(2)与'AB'DC(3)与'AB'AD'ABC'D'B'A'CDAB求异面直线所成角的步骤一找(作)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角例2：如图所示，空间四边形中对角线，分别为中点，，问：与是异面直线吗？若是，求它们所成的角。ABCD10,6ACBD,MN,ABCD7MNACBDNMBCDA例题示范例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA成异面直线的有直线,,,,,BCADCCDDDCDC，例题示范例2、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：（2）由可知，等于异面直线与的夹角,所以异面直线与的夹角为450。//BBCCBBABACC,,,,,,,ABBCCDDAABBCCDDA(3)直线与直线都垂直.AACCBA练习反馈：奎屯王新敞新疆1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.（）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）√×√√××4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）（A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能（2）异面直线a,b满足a,b,∩=l,则l与a,b的位置关系一定是（）(A)l至多与a，b中的一条相交;(B)l至少与a，b中的一条相交;(C)l与a,b都相交;(D)l至少与a，b中的一条平行.DB（3）两异面直线所成的角的范围是（）（A）（0°,90°）（B）[0°,90°)（C）（0°,90°]（D）[0°,90°]7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行（）（2）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变（）（3）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形（）奎屯王新敞新疆C×√×