资产市场不确定性风险资产

不确定性一.一般理论1.偏好简单赌局:令A={a1,…,an}是结果集，那么，Gs简单赌局的集合（在A上的）由如下式子给出:Gs={p0oa1,…,pnoan|pi≥0,∑pi=1}赌局的结果是赌局,称为复合赌局.G代表一切赌局的集合.公理G1:完备性.g,g’∈G,要么g≧g’要么g’≧g.公理G2:传递性.g,g’,g”∈G,如果g≧g’.g’≧g”.则g≧g”.A的结果是一个退化的赌局,可以排序.不妨设a1≧a2≧…≧an.公理G3:连续性.g∈G,α∈[0,1],g~{αoa1,(1-α)oan}公理G4:单调性.α,β∈[0,1],如果{αoa1,(1-α)oan}≧{βoa1,(1-β)oan},则α≥β公理G5:替代性.g={p0og1,…,pkogk}h={p0oh1,…,pkohk}g,h∈G,如果hi~gi.则h~g.g={αoa1,(1-α)oh}h={βoa1,(1-β)oa2}结果为a1的有效概率为α+(1-α)β,a2的有效概率为(1-α)(1-β).复合赌局引致ai的唯一有效概率.g∈G,pi代表g分派给ai的有效概率,g引致了简单赌局{p0oa1,…,pnoan}∈Gs.公理G6:简化成一个简单赌局．对于g∈G,如果{p0oa1,…,pnoan}是由g引致的简单赌局,则{p0oa1,…,pnoan}~g.2.VNM效用函数预期效用的性质:{p0oa1,…,pnoan}是由g引致的简单赌局,对于g∈G,如果存在u(g)=∑piu(ai).效用函数u:G→R具有期望效用的性质.消费者的目标是期望效用最大化.VNM效用函数存在性定理:对属于G内的赌局的偏好满足公理G1-6,那么存在一个代表关于G的偏好的效用函数u:G→R,使u具有期望效用性质.证明:(1)公理G3:连续性.g∈G,α∈[0,1],g~{αoa1,(1-α)oan}公理G4:单调性.β∈[0,1],如果g~{βoa1,(1-β)oan},则α≥ββ≥α,α=β,α是唯一的.令α=u(g),g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}(2)公理G1:完备性.g,g’∈G,要么g≧g’要么g’≧g.设g≧g’,由(1)的结论和公理G2,{u(g)oa1,(1-u(g))oan}≧{u(g’)oa1,(1-u(g’))oan}由公理G3,u(g)≧u(g’).存在一个代表关于G的偏好的效用函数u:G→R(3)g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}ai~{u(ai)oa1,(1-u(ai))oan}设qi={u(ai)oa1,(1-u(ai))oan}qi~ai,公理G5g’={p1oq1,…,pnoqn}~{p1oa1,…,pnoan}=gs.g’分派给a1的有效概率为∑piu(ai).g’分派给an的有效概率为∑pi[1-u(ai)].gs’={∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-u(ai)])oan}公理G6,g’~gs’,公理G2,gs~gs’,gs~{∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-u(ai)])oan}gs~{u(gs)oa1,(1-u(gs))oan}由(1)的结论u(gs)=∑piu(ai).g引致的gs,g~gs,u(g)=u(gs)=∑piu(ai).u具有期望效用性质.VNM效用函数对正映射转换是唯一的.假设VNM效用函数u代表了偏好关系≧,VNM效用函数v代表了相同的偏好关系≧,当且仅当,g∈G,αβ0,v=α+βu.证明:充分性.g,g’∈G,g≧g’←→u(g)≧u(g’)←→v(g)=α+βu(g)≧α+βu(g’)=v(g’)/5/必要性.令A={a1,…,an}g={p1oa1,…,pnoan}a1≧…≧an,a1an.u代表了偏好关系≧→u(a1)≧…≧u(an),u(a1)u(an).→公理G3,唯一αi∈[0,1],u(ai)=αiu(a1)+(1-αi)u(an).当且仅当aian.αi0.→u具有期望效用性质.u(ai)=u(αioa1,(1-αi)oan).→ai~αioa1,(1-αi)oan.→v也代表了偏好关系≧→v(ai)=v(αioa1,(1-αi)oan).→v也具有期望效用性质.v(ai)=αiv(a1)+(1-αi)v(an).[u(a1)-u(ai)]/[u(ai)-u(an)]=(1-αi)/αi=[v(a1)-v(ai)]/[v(ai)-v(an)]v(ai)=α+βu(ai)α=[u(a1)v(an)-v(a1)u(an)]/[u(a1)-u(an)]β=[v(a1)-v(an)]/[u(a1)-u(an)]0对于g∈G,如果{p0oa1,…,pnoan}是由g引致的简单赌局,v(g)=∑piv(ai)=∑pi[α+βu(ai)]=α+β∑piu(ai)=α+βu(g)3.风险厌恶1)对于非负财富水平上的赌局,设u是个人的一个VNM效用函数,那么对于简单赌局g={p0ow1,…,pnown},该个人可被认为是:(1)如果u[E(g)]u(g),他对g是风险厌恶的;(2)如果u[E(g)]=u(g),他对g是风险中性的;(3)如果u[E(g)]u(g),他对g是风险偏爱的;2)当且仅当行为者的VNM效用函数分别在财富的适当定义域上是严格凹的\线性的\严格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险厌恶\风险中性\风险偏爱的.3)确定性等价物与风险升水:在财富水平上,任何简单赌局的确定性等价物是一定量的财富CE-他被确定性地提供,使u(g)=u(CE).风险升水是一定量的财富P,使u(g)=u(E(g)-P).P=E(g)-CE.4)绝对风险厌恶的阿罗-帕拉特测度Ra(w)=-u”(w)/u’(w).Ra(w)为正,负,零时,行为者分别是风险厌恶\风险中性\风险偏爱的.效用函数正的单调转换,使测度不变.Wu(W)u(W)=Wu(W)=W2u(W)=W0.510.50.250.50.70.250.7二.二维1.或有消费某人开始拥有35000美元资产,有可能损失10000美元,损失发生的概率为0.01.g0={0.99o35000,0.01o25000}完全保险,投报金额为10000美元,保险费为100美元.g1={0.99o34900,0.01o34900}投报金额为K,保险费为γK美元.g2={0.99o35000-γK,0.01o25000+K-γK}Cgcb3500035000-γK2500025000+K-γK△cg/△cb=-γ/(1-γ)2.VNM效用函数u(c1,c2,π1,π2)=π1u(c1)+π2u(c2)u(c1,c2,π1,π2)=π1c1+π2c2u(c1,c2,π1,π2)=c1π1c2π2lnu(c1,c2,π1,π2)=π1ln(c1)+π2ln(c2)MRS12=-(π1△u(c1)/△c1)/(π2△u(c2)/△c2)3.均衡条件MRS12=-(π1△u(c1)/△c1)/(π2△u(c1)/△c1)=-γ/(1-γ)公平保险,保险公司的期望利润P=γK-πK=0→γ=π△u(c1)/△c1=△u(c2)/△c2消费者风险厌恶,货币的边际效用递减→c1=c2→c0-γK=c0-S+K-γK→K=S完全保险三.风险资产投资1.决策初始财富w,风险资产好状态概率为π,收益率为rg,坏状态概率为1-π,收益率为rb.风险资产投资x美元.EU(x)=πu(w+rgx)+(1-π)u(w+rbx)EU’(x)=πu’(w+rgx)rg+(1-π)u’(w+rbx)rbEU”(x)=πu”(w+rgx)rg2+(1-π)u”(w+rbx)rb2EU’(x)=0→x*投资者风险厌恶,EU”(x)0,x*为全局最大值.2.征税效应税率为t,EU’(x)=πu’(w+(1-t)rgx)(1-t)rg+(1-π)u’(w+(1-t)rbx)(1-t)rbEU’(x)=0→(1-t)x’=x*→x’=x*/(1-t)征税导致投资者增加对风险资产投资.风险资产一.均值-方差效用1.u(μw,σ2w),u1’0,u2’0.MRS12=-u1’/u2’0.μwσw2.无风险资产报酬率为rf,风险资产在s状态下概率为πs,报酬率为ms;风险资产组合的报酬率为rm=∑πsms,方差为σ2m=∑πs(ms-rm)2;x份额投资于风险资产,(1-x)份额投资于无风险资产.rx=xrm+(1-x)rfσ2x=x2σ2mσx=xσmx=σx/σmrx=rf+((rm-rf)/σm)σxrmrfσmμwσwrx=rf+((rm-rf)/σm)σxrmrfσmμwσwMRS12=-u1’/u2’=(rm-rf)/σm=Pr*σ*3.均衡rx*σx*μwσwry*σy*4.组合选择rxσxryσy二.风险的测度1.只有一种风险资产的情形,风险资产的风险值就是它的标准差.存在多种风险资产的情形,标准差就不是对该资产风险值的合适测度.2.消费者的效用取决于全部财富的均值和方差,而不是任何单一资产的均值和方差.某人愿意为最后增加的那一份风险资产所支付的数量,取决于该份资产与资产组合内其它资产的相互影响.资产A:10,50%;-5,50%.资产B:-5,50%;10,50%.μA=μB=2.5σA=σB=7.5ρ=-1A.B组合份额1/2.μ=1/2μA+1/2μB=2.5σ2=D(1/2rA+1/2rB)=1/4(D(rA)+D(rB)+2ρσAσB)=0资产的风险值取决于它与其它资产的关系.3.一种股票的风险βi=资产i的风险程度/股票市场的风险程度=cov(ri,rm)/Var(rm)βi1.βi=1.βi1.三.风险资产的市场均衡资产i的风险=βiσm风险价格P=(rm-rf)/σm风险对收益的调整值=βiσm(rm-rf)/σm=βi(rm-rf)资产i和j,期望收益为ri和rj,β值为βi和βj.经过对风险调整后的收益分别为ri-βi(rm-rf)和rj-βj(rm-rf)假设风险资产市场无套利ri-βi(rm-rf)=rj-βj(rm-rf)=rfri=rf+βi(rm-rf)资本资产定价模型CAPM.βrrfrm1资本市场线