材料力学教案-第5章-弯曲内力

第5章弯曲内力教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。教具：多媒体。教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。教学内容：平面弯曲等基本概念；截面法求梁弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图。教学学时：6学时。教学提纲：5.1弯曲的概念和实例5.1.1简单回顾杆件的变形特征杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及它们的组合。1、轴向拉伸或压缩受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，且作用线与杆件轴线重合。变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。2、剪切受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。3、扭转受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。4、弯曲受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在垂直于杆件轴线方向上作用横向力。变形：杆件轴线由直线变为曲线。组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。5.1.2弯曲的概念1、弯曲的概念受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。以弯曲变形为主的杆件称为——梁。2、实例轧板机的轧辊镗刀刀杆火车轮轴桥式起重机大梁43213、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围；①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）②载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内：变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。对称弯曲（平面弯曲）：当梁上荷载位于纵向对称面内，通过且垂直于梁轴线，则变形后的梁轴线仍在此平面内，这种弯曲变形称为平面弯曲。非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或者虽有纵向对称面，但外力并不作用在此平面内，这种弯曲变形称为非对称弯曲。5.2梁的支座和载荷的简化5.2.1支座的几种基本形式支座的作用：产生反力以平衡荷载，同时阻止梁对基础的相对运动。（1）活动铰支座只限制A沿铅垂方向（AB方向）的运动，故，只有反力Y。（2）固定铰支座限制A在纵向对称面内产生线位移，此时的反力可用X和Y来表示。（3）固定支座限制A的线位移及角位移，故有反力X、Y及反力矩m。YAYXAYXmA活动铰支座固定铰支座固定支座5.2.2荷载的简化（1）集中荷载若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线长度。常用单位：N、kN；（2）集中力偶常用单位：Nm、kNm；（3）分布荷载常用单位：N/m、kN/m。其合力的大小等于荷载图的面积，合力作用点为荷载图面积的形心。5.2.3静定梁梁的未知力的数目恰好等于独立的静力平衡方程式的数目，此时，所有的未知力都可由平衡方程完全确定，这样的梁称为静定梁。它又可分为单跨梁和多跨度梁，其中，常见的单跨梁有：1、简支梁2、悬臂梁3、外伸梁4、多跨静定梁5、超静定梁超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和12F12F左左niiniiSMMFF11支承来表示梁。梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。5.3剪力和弯矩5.3.1梁的内力-剪力与弯矩。1、确定约束反力（1）求反力：BAABFF002、求内力（截面法）一般来说截面上有剪力FS和弯矩M（为平衡）001sAyFFFF1FFFAS（a）0010xFaxFMMAaxFxFMA1（b）3、讨论一般说，在梁的截面上都有剪力FS和弯矩M，从式（a）式（b）可以看出，在数值上，剪力FS等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y轴）上投影的代数和；弯矩M等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：同理，取截面右侧部分为研究对象：右右niiniiSMMFF115.3.2剪力SF和弯矩M符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力FS和弯矩M，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。剪力：当截面上的Fs使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。图5-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。图5-14简单记忆：左上右下，剪力为正。左顺右逆，弯矩为正。例5-1：求指定截面上的剪力和弯矩，求图示梁截面A、C的内力：图5-15解：①求反力：kN5AF，kN4BF校核：0yF06BApFFqF045613(无误)②求指定截面上的内力：截面A左（不截到AF）：0yF0左QApFFkN左3PQAFF（使该段有逆时针转动的趋势）0OM02左ApMFmkN左623AM（上拉下压）截面A右（截到AF）：0y0AQApFFF左N左kFQA2350OM02右ApMFmkN右623AM截面C左（不截到M1）：0yF02左QCPAFqFF0235左QCF0OM01224左CApMqFF1212543左CMmNk4截面C右（截到M1）：0yF02右QCPAFqFF0235右QCF0OM012241右CApMMqFF21212543右CM图5-19mkN6⑷小结基本规律①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Fs、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的Fs、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。③梁内任一截面上的剪力Fs的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。④梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。5.4剪力方程和弯矩方程剪力图与弯矩图通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道FS、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的FS、M是不够的。为了能找到maxSF、maxM的值及其所在截面，以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。5.4.1剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的FS、M一般随横截面的位置不同而变化，设横截面的位置用其沿梁轴线x上的坐标表示，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即)(xFFss及)(xMM它们分别称为剪力方程和弯矩方程（亦称为剪力函数和弯矩函数）。在建立剪力方程和弯矩方程时，一般是以梁的左端为坐标x的原点。有时，为了方便计算，也可将x坐标的原点取在梁的右端或梁的其他位置。5.4.2剪力图与弯矩图在工程实际中，为了简明而直观地表明梁的各截面上剪力FS和M弯矩的大小变化情况，需要绘制剪力图和弯矩图。可仿照轴力图或扭矩图的作法，以截面沿梁轴线的位置为横坐标x，以截面上的剪力FS或弯矩M数值为对应的纵坐标，选定比例尺绘制剪力图和弯矩图。对水平梁，绘图时将正值的剪力画在x轴的上方；至于弯矩，则画在梁的受压一侧，也就是正值的弯矩画在x轴的上方。由剪力方程和弯矩方程，特别是根据剪力图和弯矩图，可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，以及剪力和弯矩为最大值的截面，这些截面称为危险截面。剪力方程和弯矩方程，以及剪力图和弯矩图是梁的强度计算和刚度计算的重要依据。绘制梁的剪力图和弯矩图的基本方法：（1）首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）根据它们来作图。这也就是数学中作函数)(xfy的图形所用的方法。横坐标x---横截面位置纵坐标SF或M---按比例表示梁的内力SF、M画在横坐标的上边SF、M画在横坐标的下边5.4.3剪力图、弯矩图的特点下面用例题来说明剪力图与弯矩图的绘制及其特点。例题5-2：如下图所示简支梁的计算简图，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：⑴求约束反力整体平衡，求出约束反力：lbFFPA；laFFPB注意；约束反力的校核⑵分段列)(xFS、)(xM注意：三定①定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端；正向：自左向右为正向。②定方程区间即找出分段点；分段的原则：载荷有突变之处即为分段点。③定内力正负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立)(xFS、)(xM列)(1xFS、)(1xM：AC段：（根据图b列方程）lbFFxFPAS)(1（0x1a）⑴111)(xlbFxFxMPA（0≤x1≤a）⑵CB段：（图c）laFFlbFFFxFPPPPAS)(2（ax2L）⑶)()()()(222222xllaFaxFxlbFaxFxFxMPPPPA（a≤x2≤L）⑷⑶绘FQ、M图据式⑴、⑶作FQ图，如图（d）所示。据式⑵、⑷作M图，如图（e）所示。⑷确定maxSF、maxM据FS图可见，当ab时，laFFPSmax据M图可见，c截面处有，labFMPmax若a=b=l/2,则4maxlFMP特点之一：在集中力作用处，FS图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；PPPPFbalFlaFlbF)(；图有一转折点，形成尖角。（M图的切线斜率有突然变化）例题5-3，均布载荷作用下的悬臂梁如下图所示，作梁的剪力图与弯矩图。根据剪力与弯矩的计算方法及正负号规定，qxxFS)(（0≤x＜l）⑴2)(2qxxM（0≤x≤l）⑵在固定端处：qlFSmax22maxqlM特点之二：在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用，则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，则剪力等于零。例题5-4当齿轮上有斜齿轮时，齿轮啮合力中的轴向推力向轴线简化后，得矩为M0的弯曲力偶，试作M0作用下梁的剪力图与弯矩图。解:（1）求支反力，结果如图上所示。（2）求剪力方程与弯矩方程AC段：lMFxFOAQ)(1（0x1≤a）⑴111)(xlMxFxMOA（0≤x1a）⑵CB段：lMFxFOAS)(2（a≤x2l）⑶OOOAMxlMMxFxM222)(（ax2≤l）⑷若ab,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩laMMOmax特点之三：在集中力偶作用下，弯矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小；OOOMlbMlaM；但剪力图没有突变。（FS图连续，并不改变斜率）。例题5-5qxqlqxFx