第8部分刚体力学-精选

第8章刚体力学如果需要研究物体的转动，就不能忽略它的形状和大小而把它简化为质点来处理。但如果物体的形状和转动不能忽略，而形变可以忽略。我们就得到实际物体的另外一个抽象模型——刚体(rigidbody)，即形状和大小完全不变的物体。刚体的这一特点使刚体力学大大不同于一般的质点组力学，刚体力学问题虽不是每个都能解决，但有不少是能够解决的。于是我们定义：刚体是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变。自由度：描述一个力学体系在空间的几何位形所需的独立变量的个数.刚体的性质1.自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数6在确定的曲线上运动的质点自由度为1，在确定的曲面上运动的质点自由度为2，在三维空间可自由运动的质点自由度为3，自由刚体的自由度为6。但是，非自由刚体的自由度没有这么多，例如绕固定轴线转动的刚体就只有一个自由度。刚体的性质1.自由刚体的自由度数是6，非自由刚体的自由度数6刚体既然只有六个自由度。它的运动定律也就可以归结为六个独立方程。我们前面学过的质心运动定理确定刚体质心的运动，而动量矩定理确定刚体在空间中的取向与方位随时间变化的情况；这样，这两个定理（两个矢量方程式，即六个分量方程式）就完全确定了刚体的运动。刚体的性质2.刚体的质心刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，刚体的质心为：dVdVdmdmdVdmmCCrrr这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时，我们常用质心位矢的分量形式，为：dmzdmzdmydmydmxdmxCCC,,刚体的性质3.刚体的内力作功为零将动能定理应用于刚体时，应注意刚体的一个特点：内力所做的功为零。因为内力做功正比于相对位移，而刚体内部各质点相对位置始终保持不变。刚体的性质3.刚体的内力作功为零于是，对于刚体，动能定理就成为：外AtEtEkk)()(0若外力的功可分为保守力作的功和非保守力作的功，而保守力作的功可以用势能的减少来表达，即：非保外保外外AAA)()(0tVtVA保外于是刚体的功能原理为：非保外AtVtEtVtEkk)]()([)]()([00若0非保外A，则可得刚体的机械能守恒定律：EtVtEtVtEkk)]()([)]()([00对于刚体，不仅在质心运动定理与动量矩定理中无须计及内力，就连在动能定理中也无须计及内力，这是不同于一般质点组的。刚体的几种特殊运动由于受到不同的约束，刚体可以有各种运动形式，每种运动形式对应的自由度也不相同。1.平动：作平动时，刚体上每一点的运动情况完全相同，刚体的运动可用一质点来代表，因而这种运动的描述与质点相同。其自由度为3。2.定轴转动：刚体运动时，刚体上的各质点均绕同一直线作圆周运动。这条不动的直线称为转轴，这种运动称为刚体的定轴转动。显然，定轴转动只有一个自由度。3.平面平行运动：刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动称为刚体的平面平行运动。刚体的平面平行运动的自由度为3。刚体的几种特殊运动4.定点转动：刚体运动时，始终绕一固定点转动，这种运动称为刚体的定点转动。这个定点可以在刚体上，也可以在刚体的延拓部分。定点转动的自由度为3（3个转动自由度）。由以上分析可见，刚体平动的描述与质点的运动相当，只需考虑质心的运动即可，不必另加讨论。所以我们以后各节将分别讨论刚体的其它三种运动。抖空竹刚体的一般运动1.运动的描述刚体的一般运动可以看成随刚体上某一基点A（例如质心）的平动和绕该点的定点转动的组合。在与基点相对静止的参照系上，绕该点的转动即为定点转动。因此，作一般运动的刚体的自由度为6。打陀螺刚体的一般运动2.角速度是矢量刚体的一般运动2.角速度是矢量可见，角位移一般不是矢量。在上面的例子中，角位移是有限大小的，而（瞬时）角速度只与无限小的角位移相联系。可以证明，角速度的合成服从平行四边形法则，从而是真正的矢量。（自习）刚体的一般运动3.刚体角速度的绝对性一般来说，刚体的任何运动都可以分解为基点的平动及绕基点的定点转动。选择不同的基点，平动速度就不同；而转动角速度则与基点的选择无关，不管选择刚体上哪一点，角速度矢量的方向及大小都不变。刚体的这一重要性质，称为刚体角速度的绝对性。二、施于刚体的力系的简化作用在刚体上的力是滑移矢量力有大小、方向、作用点三个要素。就它对物体所产生的效果而言，三者都起作用。因而，在一般情况下，即使保持大小和方向不变，力亦不能平移，因为这将造成作用点的变动，效果就将不同，这就是说，力不像速度、加速度那样是自由矢量。但由于刚体是一个刚性整体，当力沿着作用线在刚体上滑移时，对刚体的作用不变，因而称作用在刚体上的力为滑移矢量。几种特殊力系1.共点力系所有力的作用线（或其延长线）交于一点的力系称为共点力系。显然，这样的力系可以等效为大小和方向等于诸力矢量和、作用点就是该交点的一个力，这就是合力。几种特殊力系2.平行力系所有的力都互相平行的力系称为平行力系。为简单起见，下面先考虑两个平行力的合力。(1)F1,F2同向，如图所示。增加一对作用于同一直线上的力f与-f，将F1,F2变为F1/,F2/后成为共点力系，然后求合力。由图示可知，合力与F1,F2平行且同向，大小为F1,F2大小之和，但作用线发生了改变。几种特殊力系2.平行力系(2)F1,F2反向，但大小不等。仍可用上法求合力。合力F=F1+F2与F1,F2平行，大小为F1,F2大小之差，方向与F1,F2中的较大者相同，但作用线发生了改变。(3)F1,F2反向，且F1=﹣F2。没有合力，这一对平行力称为力偶。容易验证，该力偶对于垂直于该平面的任何轴线的力矩相同。（称该力矩为力偶矩）几种特殊力系2.平行力系讨论：(1)求多个平行力的力系的合力，先求F1,F2的合力，再求该合力与F3的合力，等等。由上述可知，其结果或为一个合力，或为一个力偶矩。(2)可用此法求n个质点的重心，即n个重力的合力。（若各点的重力加速度相同，则质心与重心重合）(3)选取平动参考系研究刚体时，刚体中各质点所受的惯性力系为平行力系，各力的大小正比于质量。这好象出现了某种“附加重力场”，该力场的合力自然作用于“重心”，即作用于质心。因而惯性力系对于通过质心的任一轴线的力矩当然为零。几种特殊力系3.共面力系所有力的作用线位于同一平面的力系称共面力系。若共面力系的诸力互相平行，则可按求平行力合力的方法求出合力；若诸力不平行，则必有交点，可直接依次求出合力。几种特殊力系4.异面力系所有力的作用线不在同一平面的力系称异面力系。一般异面力系可等效为一个力和一个力偶。以两个力为例，如果两个力不互相平行，又不共面，这两个力就不能等效为一个合力。如图所示，作用于A点的力F1位于yOz平面，作用于B点的力F2，位于xOy平面，这样的两个异面力就属这种情形。几种特殊力系4.异面力系但我们可设想在A点作用一对力F3,﹣F3，使F3与F2大小相等，方向相同，这不会影响刚体的运动。于是，作用在A点的力F1,F3构成一个合力F=F1+F3，而F2,﹣F3则构成一个力偶，其力偶矩就是F2对A点的力矩。几种特殊力系这样，当作用于刚体上某一点的力平移到另一点时，必须同时伴随一个力偶，因此任意个力组成的力系可等效为作用于刚体上某一点C的单个力F=∑Fi和一力偶矩，其力偶矩就是各力对C点的力矩的矢量和。C点称为简化中心。简化中心可以任意选取，但当改变位置时，力偶矩也随之改变。对于方向与力F垂直的力偶矩，可看成一对与力F共面的力，而这3个力又可重新构成一个新的合力，新力必与F相等，但作用线不一样，这相当于简化中心移动了。这一点可以证明如下：几种特殊力系如图，设对于简化中心C，得到力F及与F垂直的力偶矩M，过C点作一直线既垂直于M又垂直于F，取CD的长度r0=M/F，可将力偶矩M化为一对力偶F1与﹣F1，且使F1=F。于是对于简化中心D，力系简化为合力F1=F，而力偶矩为零。几种特殊力系对于方向与力F构成任意角度的力偶矩，可将其分解为两个方向相互垂直的力偶矩，一个力偶矩与力F平行，另一个力偶矩与力F垂直，后者与力F可构成一个新的合力。综上所述，作用在刚体上的任何力系，最终可以等效为一个作用于刚体上某一点的力和一个力偶矩方向与之平行的力偶。这样的一组力和力偶称为偶力组或力螺旋。当力偶矩为零时，力系等效为一个合力。三、刚体的定轴转动角动量与角速度的关系考察绕固定轴（取为z轴）转动的刚体在某瞬时对轴上某定点O的角动量（取O为原点）。将刚体看成质点组，设第i个质点（质元）的质量为⊿mi，位矢为ri，速度为vi，则该质点对原点的角动量为：iiiimvrL于是：iiiiiimvrLL)]([iiiimrωr])([2iiiiirmrrω故角动量L与角速度ω成线性关系，但一般说来它们不在同一方向上。转动定律刚体作定轴转动时，转轴z的方向是固定的，故有：kωωkjiriiiizyx)](ω[2kjikLiiiiiiizyxzrm)]()ω[(22jikiiiiiiiyxzyxm令：jiρiiiyx222iiiyxiiiiiiiiiiiizmmzmρkρkLω]ω[22故z轴若是刚体的对称轴，上式的第二项为零，则刚体的角动量就与其角速度的方向相同。即：ωLzI转动定律ωLzI当然，若z轴不是刚体的对称轴，该式也可能成立，如图所示的刚体处于动平衡，此时，我们称轴为刚体的自由轴。利用上式可将z方向的角动量定理可写成标量形式：dtdLMzzzzIL2iiizmIIz称为刚体绕z轴的转动惯量，它是一个常量。于是zzzzIdtdIdtdLM转动定律zzzzIdtdIdtdLM此式是刚体作定轴转动时沿转轴（即z轴）方向的动力学方程，常称为转动定律。它就是角动量定理沿固定轴方向的分量式。它表明，对作定轴转动的刚体，外力矩沿固定轴的分量的代数和等于对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。转动定律与牛顿定律的形式F=ma很相似，力矩与力相当，角加速度与加速度相当，转动惯量与质量相当。转动惯量1.几种典型形状刚体的转动惯量具有规则几何形状的刚体绕对称轴的转动惯量不难计算，几种典型形状刚体的转动惯量如图所示，图中m为刚体的总质量。转动惯量2.回转半径任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：2mkI式中k称为回转半径。例如，圆球的回转半径圆柱的回转半径等。质量相同的刚体，转动惯量越大，回转半径越大。Rk52Rk21转动惯量3.转动惯量的平行轴定理和正交轴定理(1)平行轴定理如图，设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为IC，将轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕此轴的转动惯量ID为：2mdIICD转动惯量3.转动惯量的平行轴定理和正交轴定理(2)正交轴定理如图，如果已知一块薄板绕位于板上两相互垂直的轴（设为x轴和y轴）的转动惯量为Ix和Iy，则薄板绕z轴的转动惯量为：yxzIII定轴转动刚体的角动量守恒绕对称轴（或自由轴）z轴转动的刚体的角动量为：ωLzI当刚体不受外力矩作用时，角动量不变，即ω不变，此即角动量守恒。其实，上式也适用于Iz可变的物体，只要在变化过程中不破坏对称性，又保持所有质点的相同，这样，角动量守恒的表式就成为：当M=0时，Izω=常量当Iz增大时，ω减小；Iz减小时ω增大。双手握哑铃的人站在旋转的平台上，当他伸开双臂（意味着Iz增大）时转速减小，当他垂下双臂（意味着Iz减小）时转速增大，就是这个道理。定轴转动刚体的角动量守恒跳水运动员四、刚体运动的基本方程与刚体的平衡刚体运动的基本方程刚体是一种特殊的质点组，因而关于质点组运动的定理也完全适用于刚体。我们已学过的两个定理是质心运动定理和角动量定理：iiCCdtdmFr22iMLidtd我们知道，刚体的自由度最多为6，这里已有6个独立的分量方程，处理刚体问题已经够了。刚体