2019年高考数学试题江苏卷数学

2019·江苏卷(数学)1.A1[2019·江苏卷]已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x0,x∈R},则A∩B=.1.{1,6}[解析]由题易知A∩B={1,6}.2.L4[2019·江苏卷]已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.2.2[解析](a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i.因为该复数的实部为0,所以a=2.3.L1[2019·江苏卷]图1-1是一个算法流程图,则输出的S的值为.图1-13.5[解析]由图可得,x=1,S=0+=;x=2,S=+1=;x=3,S=+=3;x=4,S=3+2=5,退出循环,输出的S的值为5.4.B1[2019·江苏卷]函数y=√-的定义域是.4.[-1,7][解析]由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7].5.I2[2019·江苏卷]已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.5.[解析]这组数据的平均数为=8,所以方差为=.6.K2[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.6.[解析]3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E.基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为.7.H6[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.7.y=±√x[解析]将(3,4)代入双曲线方程可得b=√,所以该双曲线的渐近线方程是y=±√x.8.D2[2019·江苏卷]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.8.16[解析]设数列{an}的公差为d,由S9=9a5=27,得a5=3,从而3a2+a8=0,即3(a5-3d)+(a5+3d)=0,解得d=a5=2,所以S8=S9-a9=S9-(a5+4d)=27-11=16.9.G7[2019·江苏卷]如图1-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.图1-29.10[解析]因为三棱锥-长方体=矩形=·矩形·=,所以V三棱锥E-BCD=V长方体=×120=10.10.E6、H2[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.10.4[解析]方法一:由已知可设P(),x0,所以点P到直线x+y=0的距离d=||√=√≥√√=4,当且仅当2x=,即x=√时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值为4.方法二:作直线x+y=0的平行线x+y+C=0(图略),当直线x+y+C=0与曲线y=x+(x0)相切于点P时,点P到直线x+y=0的距离最小.由{得2x2+Cx+4=0,所以Δ=C2-32=0,解得C=±4√.因为x0,所以y0,所以C0,则C=-4√,则所求距离的最小值为√=4.11.B11[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.11.(e,1)[解析]设切点A(x0,lnx0),因为y'=(lnx)'=,所以该曲线在点A处的切线的斜率k=,又切线过点(-e,-1),所以k==,即x0lnx0=e,解得x0=e,所以点A的坐标是(e,1).12.F3[2019·江苏卷]如图1-3,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗=6⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗,则的值是.图1-312.√[解析]如图所示,过D作DF∥CE,交AB于点F.因为D是BC的中点,所以F是BE的中点.又BE=2EA,所以EF=EA,所以AO=OD,所以⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗=(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗).又⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗=6⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗=6×(⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗)·(⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗)=⃗⃗⃗⃗⃗-⃗⃗⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗,即⃗⃗⃗⃗⃗=3⃗⃗⃗⃗⃗,所以=√.13.C5、C6、C7[2019·江苏卷]已知()=-,则sin()的值是.13.√[解析]由()=-=-,得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2或tanα=-.sin()=√(sin2α+cos2α)=√(-)=√(-),将tanα=2或tanα=-代入得sin()=√.14.B3、B4、B9[2019·江苏卷]设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√--,g(x)={-其中k0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.14.[√)[解析]当x∈(0,2]时,y=f(x)=√--等价于(x-1)2+y2=1(y≥0).结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)在(0,9]上的图像,如图所示.因为当x∈(1,2]时,g(x)=-,且g(x)的周期为2,由图可知,当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,f(x)与g(x)的图像有2个交点.由题知,f(x)与g(x)的图像在区间(0,9]上有8个交点,所以当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图像有6个交点.又当x∈(0,1]时,y=g(x)=k(x+2)表示的直线恒过定点(-2,0),且斜率k0.结合g(x)的周期为2及f(x)的图像可知,当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图像无交点,所以当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图像有6个交点.由f(x)与g(x)的周期性可知,当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图像有2个交点.当线段y=k1(x+2)(0x≤1)与圆弧(x-1)2+y2=1(0x≤1,y≥0)相切时,圆心到线段的距离d=√=1,解得=,又k10,所以k1=√(此时恰有1个交点);当线段y=k2(x+2)(0x≤1)过点(1,1)时,k2=(此时恰有2个交点).结合图像分析可知,k的取值范围是[√).15.C8[2019·江苏卷]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=√,cosB=,求c的值;(2)若=,求sin()的值.15.解:(1)因为a=3c,b=√,cosB=,由余弦定理cosB=-,得=-√,即c2=,所以c=√.(2)因为=,由正弦定理=,得=,所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.因为sinB0,所以cosB=2sinB0,从而cosB=√.因此sinB+=cosB=√.16.G4、G5[2019·江苏卷]如图1-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.图1-416.证明:(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1C∩AC=C,所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BE⊥C1E.17.H4、H5[2019·江苏卷]如图1-5,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=.图1-5(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.17.解:(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=√-=√()-=.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为+=1.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:+=1,a=2.因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由{-得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-.将x=-代入y=2x+2,得y=-.因此B(--),又F2(1,0),所以直线BF2:y=(x-1).由{-得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=(x-1),得y=-,因此E-1,-.解法二:由(1)知,椭圆C:+=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.因为F1(-1,0),由{-得y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-.因此E-1,-.18.H1、H3、H4[2019·江苏卷]如图1-6,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离不小于．．．圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).图1-6(1)若道路PB和桥AB垂直,求道路PB的长.(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.18.解:解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.所以PB===15.因此道路PB的长为15(百米).(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=√=10,从而cos∠BAD=-=0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×=9;当∠OBP90°时,在△PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能