江西省宜春中学2017届高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)

第1页（共23页）2016-2017学年江西省宜春中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则∁UA=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≤2}2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣iB．1+2iC．﹣1+2iD．﹣1﹣2i3．已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则•等于（）A．4B．6C．8D．104．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．6B．8C．10D．125．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）A．B．C．D．无法确定6．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为第2页（共23页）（）A．B．C．D．7．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A．B．C．D．8．将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β10．已知椭圆的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），离心率e=，若点P在椭圆上，且•=，则∠F1PF2的大小为（）A．B．C．D．11．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A．B．C．D．12．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣10，10]C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）第3页（共23页）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，的夹角为，且|=1，，|=．14．（x﹣）4（x﹣2）的展开式中，x2的系数为．15．已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为．16．设定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有三个不同的实数解x1，x2，x3，则=．三、解答题：（本题共5小题，共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．19．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛第4页（共23页）者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：（1）打满4局比赛还未停止的概率；（2）比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E（ξ）．令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．20．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．21．已知函数f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．（1）若函数f（x）在[，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）若f′（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范围；（3）在第二问的前提下，证明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF•FC的值．第5页（共23页）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）若A，B为曲线C1，C2的公共点，求直线AB的斜率；（Ⅱ）若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，当|AB|取最大值时，求△AOB的面积．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣|﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证：++≥1．第6页（共23页）2016-2017学年江西省宜春中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则∁UA=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≤2}【考点】补集及其运算．【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，∁UA={x|1＜x≤2}，故答案为：A．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．2﹣iB．1+2iC．﹣1+2iD．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z•i=2﹣i，得．故选：D．3．已知△ABC中，AB=2，AC=4，O为△ABC的外心，则•等于（）A．4B．6C．8D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，可得，∴，第7页（共23页）故选：B，4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．6B．8C．10D．12【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，S=0不满足条件S＞1，执行循环体，n=2，S=，不满足条件S＞1，执行循环体，n=4，S=+，不满足条件S＞1，执行循环体，n=6，S=++，不满足条件S＞1，执行循环体，n=8，S=+++=，满足条件S＞1，退出循环，输出n的值为8．故选：B．5．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）第8页（共23页）A．B．C．D．无法确定【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个计算概率的问题，由题意知已经知道，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，根据无放回抽取的概率意义，可得到最后一名同学抽到红球的概率．【解答】解：由题意，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，由于无放回的抽样是一个等可能抽样，故此两个同学抽到红球的概率是一样的都是．故选：C．6．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．7．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，第9页（共23页）则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am，an使得，∴aman=16a12，∴qm+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．8．将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得φ的值．【解答】解：∵y=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+φ），第10页（共23页）将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）=sin（2x﹣+φ），∵f（x﹣）为偶函数，∴﹣+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z，故选：C．9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．10．已知椭圆的焦点是F1（0，﹣），F2（0，），离心率e=，若点P在椭圆上，且•=，则∠F1PF2的大小为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可设题意的标准方程为：=1（a＞b＞0），可得：c=，第11页（共23页）e==，a2=b2+c2，联立解出可得：椭圆的标准方程为：+x2=1．设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆定义可得m+n=4，由•=，可得mncos∠F1PF2=，利用余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，联立即可得出．【解答】解：由题意可设题意的标准方程为：=1（a＞b＞0），则c=，离心率e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为：+x2=1．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=4，∵•=，∴mncos∠F1PF2=，又（2c）2==m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴12=42﹣2mn﹣2×，解得mn=．∴cos∠F1PF2=，∴cos∠F1PF2=，∴∠F1PF2=．故选：D．11．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由已知可得k=g（t）=f′（x）=xcosx，分析函数的奇偶性及x∈（0，）第12页（共23页）时，函数图象的位置，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（