复习：二维随机变量函数的分布

下回停随机变量函数的分布复习例1设(X,Y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y,x(f00102求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24=1,c=24/5100])2([xdxdyxcydxdyyxf),(解：(1)dxxxc10222]/)([由1),(dxdyyxf确定C例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxfxXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10x注意积分限注意取值范围xy01y=x例1设(X,Y)的概率密度是解:(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.其它,00,10),2(),(xyxxcyyxf),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10y注意积分限注意取值范围xy01y=x其它,010),2223(524)(2yyyyyfY其它,010),2(512)(2xxxxfX即若(X,Y)的概率密度为其它,y,yx,)y,x(f01002问X和Y是否独立？解：),1(22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0x10y1由于存在面积不为0的区域，)()(),(yfxfyxfYX故X和Y不独立..,),,(,,,,的分布分布确定的如何通过的函数关系与并且已知表示该人的血压年龄和体重分别表示一个人的和令有一大群人ZYXYXgZYXZZYX为了解决类似的问题下面我们讨论多维随机变量函数的分布.问题一、二维离散型随机变量的函数的分布设(X，Y)是二维离散型随机变量，则Z=X+Y的分布也是一个随机变量。下面讨论其分布。设(X，Y)的联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…则Z=X+Y的可能取值zk=xi+yj(k=1，2，…)，因此Z也是离散型随机变量,其分布律为（求和是对一切使xi+yj=zk的i、j来作）},{}{}{jiijkkyYxXPzYXPzZP特别，若X与Y相互独立,则ijijjijikppyYPxXPzZP}{}{}{,2,1kpijij类似地，可讨论其它情形。例1设二维随机变量(X，Y)的联合分布律如下表所示。试求Z1=X+Y；Z2=XY；Z3=max{X,Y}的分布律。YX-112-120.250.10.30.150.150.05解先列出如下表格(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)(X,Y)Z1=X+YZ2=XYZ3=max{X,Y}ijp0.250.10.30.150.150.05-2011341-1-2-224-112222因此，Z1=X+Y的分布律为Z1pk-201340.250.10.450.150.05Z2=XY的分布律为Z2pk-2-11240.450.10.250.150.05Z3=max{X+Y}的分布律为Z3pk-1120.250.10.65例2已知随机X、Y相互独立，且X~P(1)、Y~P(2)。试求Z=X+Y的分布律。解因X与Y均服从泊松分布，所以X与Y的取值为任一非负整数，因此Z=X+Y的取值也为全体非负整数。由概率的运算法则知，对一任非负整数k，有}}0,{}1,1{},0{{}{YkXkYXkYXPkZP}0{}{}1{}1{}{}0{YPkXPkYPXPkYPXPkmmkYPmXP0}{}{21)!(!210emkemmkmkmkmmkmmkmkke021)()!(!!!21)(2121!)(ekk即X+Y~P(1+2)。该结论也称为泊松分布的可加性。例3假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(i=1,2,3,4)。(1)求行列式的概率分布；4321XXXXZ(2)线性方程组只有零解的概率。0024132211yXyXyXyX解：(1)记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则=Y1-Y2，且Y1和Y2独立同分布：16.0}1,1{}1{}1{3221XXPYPYP84.016.01}0{}0{21YPYP随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值：-1，0，1。1344.016.084.0}1,0{}1{21YYPZP1344.084.016.0}0,1{}1{21YYPZP7312.01344.021}0{ZP于是行列式Z的概率分布为－101pi0.13440.73120.1344Z(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有2688.07312.01}0{1}0{ZPZP二、二维连续型随机变量的函数的分布设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为zyxZdxdyyxfzZPzF),(}{)(这里积分区域G：x+y≤z是直线x+y=z的左下方半平面。如下图1、和的分布：Z=X+YdxdyyxfzFxzZ]),([)(有作变量代换y=u-x得dxduxuxfzFzZ]),([)(x+y=z0xyGdyyyzfzfZ),()(由对称性可得dxxzxfzfZ),()(由此可得Why?yyfyzfzfxxzfxfzfYXYXZYXZd)()()(d)()()(,相互独立时有与当特别yyfyzfxxzfxfffffYXYXYXYXd)()(d)()(*,*,即记作式这两个公式称为卷积公例4设X，Y是相互独立的服从标准正态分布N(0,1)的随机变量。求Z=X+Y的概率密度。xexfxX,21)(22yeyfyY,21)(22dxxzfxfzfYXZ)()()(,由卷积公式有因此dxeexzx2)(22221解由于dxeezfzxzZ22)2(421)(,22zxt令22222)2(242422121221)(zztzZeedteezf可得即Z~N(0，2)一般来说，若Xi(i=1,2,…，n)是n个相互独立的服从N(i，σi2)分布的随机变量，则仍然是一个服从正态分布N(,σ2)的随机变量，且其参数为niiiXa1,1niiianiiia122)(这个事实，也称正态分布具有可加性。例5设随机变量X与Y相互独立，且都服从(-a，a)(a0)上的均匀分布。试求它们的和Z=X+Y的概率密度。解X与Y的概率密度分别为.,0,,21)(其它axaaxfXdxxzfxfzfYXZ)()()(因此.,0,,21)(其它ayaayfY显然仅当,axzaaxa,时即axzaxaxa上述积分不等于零。因此，当0≤z2a时，);2(412121)(2zaadxaazfaazZ当-2az0时，).2(412121)(2azadxaazfazaZ.2,0,20,42,02,42)(22azazazazaazazfZaz=x+az=x-a-aa-azx2a-2aofZ(z)z-2a2ao所得到的分布称做辛卜生(Simpson)分布或称做三角分布，其概率密度曲线如图。则有}{)(maxzMPzF},{zYzXP}{}{zYPzXP).()(zFzFYX}{)(minzNPzF}{1zNP},{1zYzXP}{}{1zYPzXP),()(,,yFxFYXYX和的分布函数分别为它们变量是两个相互独立的随机设2、M=max(X，Y)及N=min(X，Y)的分布)].(1)][(1[1zFzFYX}]{1[}]{1[1zYPzXP故有),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX推广的分布函数分别为及则),,,min(),,,max(2121nnXXXNXXXM),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX),,2,1()(,,,,21nixFnXXXiXni它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设)].(1[)](1)][(1[1)(21minzFzFzFzFnXXX则分布函数相互独立且具有相同的若,)(,,,21xFXXXn,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF.),,((iii),(ii),(i),,2121如图所示开始工作系统损坏时当系统备用并联串联连接的方式分别为联接而成统由两个相互独立的子系设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例6度分别为已知它们的概率密的寿命分别为设,,,21YXLL,0,0,0,e)(xxαxfαxX由解串联情况(i),,,21就停止工作系统中有一个损坏时由于当LLL的寿命为所以这时L).,min(YXZ..0,0的概率密度的寿命接方式写出试分别就以上三种联且其中ZLβαβα,0,0,0,e1)(xxxFαxX,0,0,0,e)(xxαxfαxX,0,0,0,e)(yyβyfβyY;0,0,0,e)(yyβyfβyY由.0,0,0,e1)(yyβyFβyY)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX.0,0,0,e1)(zzzβα.0,0,0,e)()()(minzzβαzfzβα的寿命为所以这时L).,max(YXZ的分布函数为),max(YXZ)()()(maxzFzFzFYX.0,0,0),e1)(e1(zzβzαz.0,0,0,e)(ee)()(maxzzβαβαzfzβαβzαz并联情况(ii),,,21才停止工作系统都损坏时由于当且仅当LLL,,21才开始工作系统损坏时由于这时当系统LL即两者之和是的寿命因此整个系统,,21LLZLYXZ的概率密度为时当YXZz,0yyfyzfzfYXd)()()(zβyyzαyβα0)(deezyαβαzyαβ0)(dee备用的情况(iii),0)(,0zfz时当的概率密度为于是YXZ.0,0,0],ee[)(zzαβαβzfβzαz].ee[βzαzαβαβ例7设X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从(0，1)上的均匀分布，试求U=max(X1，X2，…，Xn)及V=min(X1，X2，…，Xn)的密度函数。解因为相应于（0，1）上均匀分布的分布函数为.1,1,10,,0,0)(xxxxxF因此U的分布函数为.1,1,10,,0,0)]([)(uuuuuFuFnnU故U的概率密度为.,0,10,)()(1其它unuuFufnUU而V的分布函数为.1,1,10,)1(1,0,0)](1[1)(vvvvvFvFnnV故V的概率密度为.,0,10,)1()()(1其它vvnvFvfnVV小结1.离散型随