现代控制理论习题解答(第二章)

第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解19第二章状态空间表达式的解3-2-1试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。（1）2010A（2）0410A（3）2110A（4）452100010A（5）0000100001000010A（6）000100010000A【解】：（1）)2(10)2(11}201{])[()(11111ssssLssLAsILttteessssL22105.05.01)2(10)2(5.05.01（2）ttttssssssLssLAsILt2cos2sin22sin5.02cos444414}41{])[()(222211111（3）222211111)1()1(1)1(1)1(2}211{])[()(ssssssLssLAsILtttttttteeteteetet)(（4）特征值为：2,1321。由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解20421211101P，1211321201P线性变换后的系统矩阵为：200010011~1APPAtttttAeeteee2~0000012113212000000421211101)(21~tttttAAteteeePPeettttttttttttttttttttttttttteteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeteet34838424225342222322)(222222222（5）为结构四重根的约旦标准型。0432110001002110612111000100!2110!31!211)(232232tttttttttttteettAt（6）4321虽然特征值相同，但对应着两个约当块。tAtAAteeet2100)(ttAeeA11第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解21tttttttAeteeetteeeA00021001001222tttttttAteteeetteeeet00000210000)(2或}000100010000{])[()(1111ssssLAsILtsssssssL1000)(1100)(1)(11000012321ttttttteteeetteee0000021000023-2-2已知系统的状态方程和初始条件101)0(,210010001xxx（1）用laplace法求状态转移矩阵；（2）用化标准型法求状态转移矩阵；（3）用化有限项法求状态转移矩阵；（4）求齐次状态方程的解。【解】：（1）第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解22}210010001{)()(1111sssLAsILtttttteeeeesssssL22100000)2(1)2(1)1(100)1(1000)1(1（2）特征方程为：0)2()1(2100100012AI特征值为：2,1321。1110000000)(11nrankAIrank1110000000)(221nrankAIrank由于112nn，所以1对应的广义特征向量的阶数为1。求满足0)(11PAI的解1P，得：0110000000312111PPP，0011P再根据0)(22PAI，且保证1P、2P线性无关，解得：TP1102对于当23的特征向量，由0)(33PAI容易求得：TP1003所以变换阵为：第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解23110010001321PPPP，1100100011P线性变换后的系统矩阵为：200010001~1APPAttttAeeee2~000000ttttttttAteeeeePeeePet221200000000000)(（3）特征值为：2,1321。2121101aaaet12121aatet2323103aaaet即ttteteeaaa3111233121121012101tttetee21421210111tttetee2111232120第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解24tttttttteteeeteeete22223222210AaAaIaeAtttttteeeee2200000(4)ttttttteeeeeeexttx222010100000)0()()(3-2-3试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。（1）tttttsincos0cossin0001)(（2）tteet220)1(5.01)(（3）tttttttteeeeeeeet22222222)(（4）tttttttteeeeeeeet33335.05.025.025.05.05.0)(【解】：（1）Ittttt010100001sincos0cossin0001)0(0∴不满足状态转移矩阵的条件。（2）Ieettt10010)1(5.01)0(022∴满足状态转移矩阵的条件。由)()(tAt，得AA)0()0(。第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解25∴2010200)0(,200)(02222ttttteeAeet（3）Ieeeeeeeettttttttt022222222)0(∴满足状态转移矩阵的条件。3120424222)0(02222ttttttttteeeeeeeeA（4）Ieeeeeeeettttttttt033335.05.025.025.05.05.0)0(∴满足状态转移矩阵的条件。14115.15.0375.025.05.15.0)0(03333ttttttttteeeeeeeeA3-2-4已知线性时变系统为xttx2112，试求系统的状态转移矩阵。【解】：取)(*)()(*)(,2112)(,2112)(1221222111tAtAtAtAtttAtttA得：ddIettttttdAtt2)(00002112!212112),()(21)(32)(1)(21)(32)(1),(03032202200220003032200tttttttttttttttttttttt3-2-5已知线性定常系统的状态方程为uxx103210，初始条件为11)0(x试求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】：第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解26])[()(11AsILttttttttteeeeeeeessssssssssLt222212222)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)(tteeBtIAxttx2215.05.0)]([)0()()(3-2-6已知线性定常系统的状态空间表达式为xyuxx21,026510，已知状态的初始条件为10)0(x，输入量为)0()(tetut，试求系统的输出响应。【解】：tttttttteeeeeeeeAsILt5555114541454541414145])[()(dButcxtctyt)()()0()()(0104541454541414145215555tttttttteeeeeeeedeeeeeeeeettttttttt024541454541414145210)(5)()(5)()(5)()(5)(deeeeeeettttttt)(5)()(5)(0525252125214941)0(898725)2925(494150455teetedeeeetttttttt3-2-7线性定常系统的齐次方程为)(tAxx，已知当21)0(x时，状态方程的解为第三部分现代控制理论习题详解第二章状态空间表达式的解27tteetx222)(；而当11)0(x时，状态方程的解为tteetx)(，试求：(1)系统的状态转移矩阵)(t；(2)系统的系数矩阵A。【解】：)0(