1989-2013年考研数学三历年真题全打印版

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）档0→x时，用)(xo表示比x的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（）A、)()(32xoxox=⋅B、)()()(32xoxoxo=⋅C、)()()(222xoxoxo=+D、)()()(22xoxoxo=+（2）设函数xxxxxfxln)1(1)(+−=的可去间断点个数为()A.0B.1C.2D.3（3）设kD是圆域{}1),(22≤+=yxyxD位于第K象限的部分,记),4,3,2,1()(=−=∫∫kdxdyxyIKDk则()A.01IB.02IC.03ID.04I（4）设{}na为正项数列,下列选项正确的是()A.若1+nnaa，则nnna∑∞=−−11)1(收敛B.若nnna∑∞=−−11)1(收敛，则1+nnaaC.若∑∞=1nna收敛，则存在常数1P,使npnan∞→lim存在D.若存在常数1P,使npnan∞→lim存在,则∑∞=1nna收敛（5）设矩阵A.B.C均为n阶矩阵，若AB=C,则B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价（6）若矩阵1111aabaa和00000002b相似的充分必要条件为（）A.2,0==baB.ba,0=为任意数C.0,2==baD.2=a，b为任意数（7）设321,,XXX是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221NXNXNX,则{}(),3,2,122=≤≤−=jXPPjj则（）A.1P2P3PB.2P1P3PC.3P1P2PD.1P3P2P(8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为：则{}==+2YXP()A.121B.81C.61D.21二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设曲线)(xfy=和xxy−=2在点（0,1）处有公共的切线，则)2(lim+∞→nnnfn=______.(10)设函数()yxzz,=由方程xyyzx=+)(确定，则)2,1(xz∂∂=________.(11)求dxxx∫+∞+12)1(ln=______.(12)微分方程041=+′−′′yyy的通解为_____=y（13）设A=（ija）是三阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为ija的代数余子势，若ijA+ija=0)3,2,1,(0==+jiaAijij，则A=_________.(14)设随机变量X服从标准正态分布)1,0(~NX,则____)(2=XXeE。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x→时，1coscos2cos3xxx−⋅⋅与a为等价无穷小，求n与a的值。X0123P21418181X-101P313131（16）（本题满分10分）设D是由曲线13yx=，直线(0)xaa=及x轴所围成的平面图形，,xyVV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV=，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域D由直线3,3xyyx==及8xy+=围成.计算2Dxdxdy∫∫。（18）（本题满分10分）设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为100060QP−=.(P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I)该商品的边际利润。(II)当50=P时的边际利润，并解释其经济意义。(III)使得利润最大的定价P。（19）（本题满分10分）设函数)(xf在[]+∞,0上可导，0)0(=f且2)(lim=+∞→xfx，证明：（I）存在0a，使得1)(=af。（II）对于（1）中的a，存在),0(a∈ξ，使得aafaff10)0()()(=−−=′ξ。（20）（本题满分11分）设=011aA，=bB110，当ba,为何值时，存在矩阵C使得BCAAC=−,并求所有矩阵C.（21）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2fxxxaxaxaxbxbxbx=+++++，记112233,abababab==。（I）证明二次型f对应的矩阵为2TTaabb+；（II）若,ab正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy+。（22）（本题满分11分）设),(YX是二维随机变量，X的边缘概率密度为=)(xfX其他,010,32xx，在给定)10(=xxX的条件下，Y的条件概率密度为=)(xyfXY，其他00,332xyxy（I）求),(YX的概率密度),(yxf（II）Y的边缘密度)(yfY（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为=)(xf−其他,00,32xexxθθ其中θ为未知参数且大于零，NXXX…,21,为来自总体X的简单随机样本。（I）求θ的矩估计量。（II）求θ的最大似然估计量。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx+=−渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数2()(1)(2)xxnxfxeeen=−−…（−），其中n为正整数，则(0)f′=（）（A）1(1)(1)!nn−−−（B）(1)(1)!nn−−（C）1(1)!nn−−（D）(1)!nn−（3）设函数()ft连续，则二次积分22202cos()dfrrdrπθθ∫∫=（）（A）2224222202()xxxdxxyfxydy−−++∫∫（B）22242202()xxxdxfxydy−−+∫∫（C）2222220214()2xdxxyfxydyxx−+++−∫∫（D）22220214()2xdxfxydyxx−++−∫∫（4）已知级数11(1)sinninna∞=−∑绝对收敛，21(1)nina∞−=−∑条件收敛，则a范围为（）（A）0a12≤（B）12a≤1（C）1a≤32（D）32a2（5）设1234123400110,1,1,1ccccaaaa−===−=其中1234cccc，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123aaa，，（B）124aaa，，（C）134aaa，，（D）234aaa，，（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=Paaa（，，），1223=Qaaaa（+，，）则1=QAQ−（）（A）121（B）112（C）212（D）221（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+ΡΧΥ≤22｛1｝（）（A）14（B）12（C）8π（D）4π（8）设1234XXXX，，，为来自总体Nσσ2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|XXXX−的分布（）（A）N（0，1）（B）(1)t（C）2(1)χ（D）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin4lim(tan)xxxxπ−→（10）设函数0ln,1(),(()),21,1xdyxxfxyffxdxxx=≥=−求___________.（11）函数(,)zfxy=满足2201(,)22lim0,(1)xyfxyxyxy→→−+−=+−则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线yx=及4yx=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23PABPC==则CPΑΒ（）=_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos40limxxxeex−→−（16）（本题满分10分）计算二重积分xDexydxdy∫∫，其中D为由曲线1yxyx==与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)Cxy（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21lncos1,11.12xxxxxx++≥+−−（19）（本题满分10分）已知函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx″′+−=及()()2xfxfxe′+=1）求表达式()fx2）求曲线的拐点220()()xyfxftdt=−∫（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaAbaa−==，（I）求|A|（II）已知线性方程组Axb=有无穷多解，求a，并求Axb=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa=−−，二次型123(,,)()fxxxxxΤΤ=ΑΑ的秩为2，（1）求实数a的值；（2）求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：X012P121316Y012P131313XY0124P712130112求（1）P(X=2Y);（2）cov(,)XYXYY−ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).VXYUXY=求（1）随机变量V的概率密度；（2）()EUV+.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)已知当0x→时，函数()3sinsin3fxxx=−与是kcx等价无穷小，则(A)1,4kc==(B)1,4kc==−(C)3,4kc==(D)3,4kc==−(2)已知()fx在0x=处可导，且(0)0f=,则2330()2()limxxfxfxx→−=(A)'2(0)f−(B)'(0)f−(C)'(0)f(D)0(3)设{}nu是数列，则下列命题正确的是(A)若1nnu∞=∑收敛，则2121()nnnuu∞−=+∑收敛(B)若2121()nnnuu∞−=+∑收敛，则1nnu∞=∑收敛(C)若1nnu∞=∑收敛，则2121()nnnuu∞−=−∑收敛(D)若2121()nnnuu∞−=−∑收敛，则1nnu∞=∑收敛(4)设40ln(sin)Ixdxπ=∫,40ln(cot)Jxdxπ=∫,40ln(cos)Kxdxπ=∫则I,J,K的大小关系是(A)IJK(B)IKJ(C)JIK(D)KJI(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列