数学分析级数

返回后页前页§2正项级数三、积分判别法返回收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.一、正项级数收敛性的一般判别原则二、比式判别法和根式判别法*四、拉贝判别法返回后页前页一、正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数.对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性.定理12.5nu正项级数收敛的充要条件是:部分和{}nS数列有界,即存在某正数M,对一切正整数n有.nSM返回后页前页0(1,2,),iui由于证所以{Sn}是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).这就证明了定理的结论.仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收敛性判别法则.返回后页前页nnuv设和是两个正项定理12.6(比较原则)级数,如果存在某正数N,对一切nN都有(1)nnuv则(i),;nnvu若级数收敛则级数也收敛(ii),.nnuv若级数发散则级数也发散证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.返回后页前页nnnnSSuv现在分别以和记级数与的部分和.由(1)式可得,对一切正整数n,都有(2)nnSS,lim,nnnvS若收敛即存在则由(2)式对一切n有nulimnnnSS{}nS,即正项级数的部分和数列有界,由定理12.5级数nu收敛,这就证明了(i).(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.返回后页前页例121.1nn考察的收敛性解2,n由于当时有22111.1(1)nnnnnn因为正项级数21(1)nnn收敛(§1例5的注),故由比较原则和定理12.3,级数211nn也收敛.返回后页前页22,,nnnnuvuv收敛则级数收敛.例2若级数22||nnnnuvuv22,nnuv证因为,而级数收敛，根据比较原则,得到级数nnuv收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.,nnuv推论(比较原则的极限形式)设是两个正项级数,若lim,(3)nnnulv则返回后页前页(i)0,;nnluv当时级数,同敛散(ii)0,;nnlvu当且级数收敛时级数也收敛(iii),.nnlvu当且级数发散时级数也发散证(i)由(3),l对任给正数存在某正数N,当nN时,恒有nnulv或()().(4)nnnlvulv返回后页前页0l当nu由比较原则及(4)式得,时,级数与nv同时收敛或同时发散.这就证得了(i).(ii)当l=0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若nvnu级数收敛,则级数也收敛.(iii),l若则对于正数1,存在相应的正数N,当nN时,都有1.nnnnuuvv或于是由比较原则知道,若级数nv发散,则级数nu也发散.返回后页前页例3级数12nn是收敛的,因为1212limlimlim112122nnnnnnnnnnn以及等比级数12n收敛,根据比较原则的极限形12nn式,级数也收敛.返回后页前页例4正项级数111sinsin1sinsin2nn是发散的,因为1sinlim1,1nnn根据比较原则的极限1n1sinn形式以及调和级数发散,得到级数也发散.返回后页前页*例5判断正项级数12sin1nnn的敛散性.1sinlim1,1nnn12sin1nnn21n解因为故可将与进行比较.由于12sin122(1sin)12sin21limlimlim1nnnnnnnnnnnnnn12(1sin)lnlime,nnnn返回后页前页注意到2111lim1sinlnlim1lnnnnnnonnnn221lnlim0,nnnonn所以12(1sin)lnlime1.nnnn根据比较原则,原级数收敛.返回后页前页二、比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,但在使用时只要根据级数一般项本身的特征就能作出判断.定理12.7(达朗贝尔判别法,或比式判别法)设nu为正项级数,且存在某正整数0(01).Nqq及常数0(i),nN若对一切成立不等式1,(5)nnuqu返回后页前页则级数nu收敛.0(ii),nN若对一切成立不等式11,(6)nnuu.nu则级数发散证(i)(5)1n不妨设不等式对一切成立,于是有32121,,,,.nnuuuqqquuu返回后页前页把前n-1个不等式按项相乘后,得到132121nnnuuuquuu11.nnuuq或者由于当0q1时,11,nnq等比级数收敛根据比较原则及上述不等式可得.nu级数收敛返回后页前页推论1(比式判别法的极限形式)若nu为正项级数，且1lim,(7)nnnuqu则(i)1,;nqu当时级数收敛(ii)1,.nqqu当或时级数发散证由(7)式,对任意取定的正数(1),q存在正数N,当nN时,有返回后页前页1.nnuqqu1,1,qq当时根据的取法,有由上述不等式的左半部分及比式判别法的(i),得正项级数nu是收敛的.1,1,qq若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii),可得级数nu是发散的.,,qNnN若则存在当时有11,nnuu.nu所以这时级数是发散的返回后页前页例6级数225258258[23(1)],115159159[14(1)]nn由于1233limlim1,144nnnnunun根据推论1，级数收敛.返回后页前页例7讨论级数1(0)nnxx的敛散性.解因为11(1)1(),nnnnunxnxxnunxn根据推论1,当0x1时级数收敛;当x1时级数发n散;而当x=1时,所考察的级数是,它显然也是发散的.返回后页前页性作出判断.例如级数211,nn和它们的比式极1211(),nnunun限都是但收敛(§1例5),1n而却是发散的(§1例3).若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.若(7)中q=1,这时用比式判别法不能对级数的敛散返回后页前页*推论2设nu为正项级数.1(i)lim1,;nnnuqu若则级数收敛1(ii)lim1,;nnnuqu若则级数发散*例8研究级数22211(8)nnnnbbcbcbcbcbc的敛散性,其中0bc.返回后页前页解由于1,,,nnbnuucn为奇数,为偶数11lim,lim,nnnnnnuucbuu故有于是当c1时,级数(8)收敛;当b1时,级数(8)发散;但当b1c时,比式判别法无法判断级数(8)的敛散性.返回后页前页定理12.8(柯西判别法,或根式判别法)设nu为正项级数,且存在某正数0,Nl及常数0(i),nN若对一切成立不等式1,(9)nnul;nu则级数收敛0(ii),nN若对一切成立不等式1,(10)nnu.nu则级数发散返回后页前页于情形(ii),由(10)式可得11.nnu,nnu显然当时不可能以零为极限,因而由级数收敛的必要条件可知,级数nu是发散的.证由(9)式有,nnul因为等比级数11nll当,时收敛故由比较原则,这时级数nu也收敛,对返回后页前页lim,(11)nnnul(i)1,;nlu当时级数收敛(ii)1,.nlu当时级数发散则证由(11)式,1,l当取时存在某正数N,对一切nN,有.nnlul于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.推论1(根式判别法的极限形式)设nu为正项级数,且返回后页前页例9研究级数2(1)2nn的敛散性.解由于2(1)1limlim,22nnnnnnu所以级数是收敛的.若在(11)式中l=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性做出判断.例如211,nn对和都有返回后页前页2111(),,nnunnn但是收敛的而却是发散的.若(11)式的极限不存在,则可根据根式nnu的上极限来判断.*推论2设nu为正项级数,且lim,nnnul则当(i)l1时级数收敛;(ii)l1时级数发散.返回后页前页*例10考察级数22nnbcbcbc的敛散性，其中01.bc解由于121121(),()(),mmnnmmccumbb故lim1,nnnuc因此级数是收敛的.返回后页前页1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果应用比式判别法,由于我们就无法判断其收敛性.返回后页前页1`limnnnuqulim.nnnuq根据第二章总练习题4(7),当时,必有这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能由根式判别法来判别,亦即根式判别法较之比式判别法更为有效.例如级数2(1),2nn由于返回后页前页222121332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).那么,是否就不需要比式判别法了？请看下面例子.返回后页前页例11判别下列级数的敛散性：21(!)(i);(2)!nnn21(ii).12nnnn解(i)因为212[(1)!](2)!limlim[2(1)]!(!)nnnnunnunn2(1)1lim1,(21)(22)4nnnn由比式判别法，原级数为收敛.返回后页前页11,222limlimlim1122nnnnnnnnnnnunn(ii)因为由根式判别法,原级数为收敛.注由于极限2(!)lim(2)!nnnn很难求,所以上例中的(i)不采用根式法.返回后页前页三、积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.定理12.9(积分判别法)设[1,)f为上非负减函数,那么正项级数+1()()dfnfxx与反常积分同时收敛或同时发散.证由假设[1,)f为上非负减函数,对任何正数A,f在[1,A]上可积,于是返回后页前页1()()d(1),2,3,.nnfnfxxfnn依次相加可得11221()()d(1)().(12)mmmmnnnfnfxxfnfn若反常积分收敛,则由(12)式左边,对任何正整数m,有111()(1)()d(1)()d.mmmnSfnffxxffxx根据定理12.5,级数()fn收敛.返回后页前页反之,若()fn为收敛级数,则由(12)式右边,对任一正整数m(1)有11()d().(13)mmfxxSfnS10()d,1.AnfxxSSnAn+111.2()d.fxx根据定理得反常积分收敛因为f(x)为非负减函数,故对任何正数A,都有用同样方法,可以证明+1()()dfnfxx与是同时发散的.返回后页前页例12讨论1.ppn级数的敛散性1(),0[1,)pfxp