《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1椭圆及其标准方程(二)

2.1.1(二)2.1.1椭圆及其标准方程(二)【学习要求】加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．【学法指导】通过例题的学习，进一步用运动、变化的观点认识椭圆，感知数学与实际生活的联系，通过生成椭圆的不同方法，体会椭圆的几何特征的不同表现形式.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)试一试·双基题目、基础更牢固1．设定点F1(0，－3)、F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a0)，则点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段解析∵|PF1|＋|PF2|＝a＋9a≥6＝|F1F2|，∴点的轨迹是椭圆或线段．D本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为()A．－1B．1C.5D．－5解析椭圆方程可化为x2＋y25k＝1，且一个焦点坐标为(0,2)，∴5k－1＝4，解得k＝1.B试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)3．“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析将方程mx2＋ny2＝1化为x21m＋y21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足1m01n01m1n⇔mn0.C试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知x1－32＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为3，±32，∴|PF2|＝|y1|＝32.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，即|PF1|＝7|PF2|.答案7试一试·双基题目、基础更牢固本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点一定义法求轨迹方程例1(1)已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程；(2)如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效解(1)如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B，C，且原点O为BC的中点，由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝106，即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2c＝6,2a＝10，∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16.若点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形，∴点A的轨迹方程是x225＋y216＝1(y≠0)．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效(2)∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，∴点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，∴点Q的轨迹方程为x29＋y25＝1.小结用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义求出椭圆的基本量a，b，c.本专题栏目开关试一试研一研练一练动画演示轨迹2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点二相关点法求轨迹方程例2如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝y02.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即x24＋y2＝1.②所以点M的轨迹是一个椭圆．本专题栏目开关试一试研一研练一练演示面积变化2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效问题从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？答案圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效小结当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标P(x，y)，已知曲线上动点坐标Q(x1，y1)．(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，求点M的轨迹方程．解如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝OP＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0)的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴是5的椭圆，其中a＝5，c＝4，b＝3，故所求的椭圆方程是x－4225＋y29＝1.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效探究点三直接法求轨迹方程例3如图，设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5,0)，所以，直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5)；同理，直线BM的斜率kBM＝yx－5(x≠5)．由已知有yx＋5×yx－5＝－49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x225＋y21009＝1(x≠±5)．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效问题若将例3中的－49改为a(a0)，曲线形状如何？答案设点M(x，y)，则yx＋5·yx－5＝a(x≠±5)．化简得，y2－25a＋x225＝1(x≠±5)．(1)当a＝－1时，曲线表示圆x2＋y2＝25(x≠±5)，去掉两点(±5,0)．(2)当a≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±5,0)．当－1a0时，椭圆焦点在x轴上；当a－1时，椭圆焦点在y轴上．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效小结通过例3的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要注意除去不符合题意的点．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN→·MP→＝6|NP→|.求动点P的轨迹C的方程．解设动点P(x，y)，则MP→＝(x－4，y)，MN→＝(－3,0)，PN→＝(1－x，－y)，由已知得－3(x－4)＝61－x2＋－y2，化简得3x2＋4y2＝12，即x24＋y23＝1.故点P的轨迹方程是椭圆C：x24＋y23＝1.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知椭圆x2m＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15D．25解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25.D本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处2．椭圆x2m＋y24＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5B．8C．5或3D．16解析当m4时，m－4＝1，即m＝5；C当0m4时，4－m＝1，即m＝3.本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且a＝2c，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆的标准方程为____________．解析根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，根据△ABF2的周长为16，得4a＝16，∴a＝4.∵a＝2c，∴c＝22，则b2＝a2－c2＝16－8＝8.故椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.答案x216＋y28＝1本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处4．椭圆x29＋y2＝1上有动点P，F1，F2是椭圆的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程．解设P，M点坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，∵在已知椭圆方程中，a＝3，b＝1，∴c＝9－1＝22.∴已知椭圆两焦点为F1(－22，0)，F2(22，0)．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有x＝x1＋－22＋223，y＝y1＋0＋03，即x1＝3x，y1＝3y.∵y1≠0，∴y≠0.已知点P在椭圆上，将上面结果代入已知椭圆方程，有3x29＋(3y)2＝1(y≠0)，即所求△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋y219＝1(y≠0)．本专题栏目开关试一试研一研练一练2.1.1(二)练一练·当堂检测、目标达成落实处1．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.本专题栏目开关试一试研一研练一练