《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 两个向量的数量

3.1.33.1.3两个向量的数量积【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3填一填·知识要点、记下疑难点1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围〈a，b〉∈________.当〈a，b〉＝π2时，a______b想一想:〈a，b〉与〈b，a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,－b〉呢?⊥〈a，b〉[0，π]本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3填一填·知识要点、记下疑难点2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则____________________叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c|a||b|cos〈a，b〉λ(a·b)b·a本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3填一填·知识要点、记下疑难点(3)数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或|a|＝a·a③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________两个向量数量积的性质④|a·b|≤|a||b|a·b|a||b|a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3填一填·知识要点、记下疑难点3.异面直线(1)异面直线的定义________________________的两条直线叫做异面直线．(2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直．不同在任何一个平面内平移到一个平面内锐角或直角直角本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效探究点一空间向量的数量积运算问题1空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？答案已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定：0≤〈a，b〉≤π.问题2类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b的定义？答案已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.零向量与任何向量的数量积为0.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效问题3请你类比平面向量说出a·b的几何意义．答案a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→；(3)EF→·FC1→.解如图，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝b·[12(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效(2)BF→·AB1→＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)EF→·FC1→＝12c－a＋12b·12b＋a＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.小结计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)OA→·OB→；(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)．解(1)OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12.(2)(OA→＋OB→)·(CA→＋CB→)＝(OA→＋OB→)·(OA→－OC→＋OB→－OC→)＝(OA→＋OB→)·(OA→＋OB→－2OC→)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效探究点二利用数量积求夹角问题1怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效问题2利用数量积怎样证明两个向量垂直？答案要证明两个非零向量垂直，即〈a，b〉＝π2，只需证明a·b＝0即可．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效在右图正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．解方法一∵MN→＝12BC1→，又BC1→＝AD1→.∴∠CAD1的大小就是所求异面直线所成的角，∵△ACD1为正三角形，∴∠CAD1＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.例2本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效方法二设正方体的棱长为2.∴MN→·AC→＝12(BC→＋CC1→)·(AB→＋BC→)＝12BC→·AB→＋12BC→·BC→＋12CC1→·AB→＋12CC1→·BC→＝0＋12|BC→|2＋0＋0＝2，又|AC→|＝22，|MN→|2＝|NC→|2＋|CM→|2＝2.∴cos〈MN→，AC→〉＝MN→·AC→|MN→|·|AC→|＝22×22＝12.∴〈MN→，AC→〉＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效小结利用向量法求两异面直线的夹角，在两条异面直线上各取一非零向量：(1)把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合的位置，化为求平面角的大小，通过解三角形得夹角的大小．(2)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或者是其补角(注意异面直线所成角的范围)．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.证明设CB→＝a，CD→＝b，CC1→＝c，则|a|＝|b|.∵BD→＝CD→－CB→＝b－a，∴BD→·CC1→＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0，∴CC1→⊥BD→，即CC1⊥BD.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效探究点三利用数量积求向量的模问题类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．答案利用数量积a·b＝|a||b|cosθ知a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效例3已知a，b，c中每两个的夹角都是π3，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，试计算|a＋b＋c|.解∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝π3，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋2|a|·|c|cos〈a，c〉＋2|b|·|c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效小结求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模，其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．解由AC⊥α，可知AC⊥AB.由∠DBD′＝30°，可知〈CA→，BD→〉＝60°，∵|CD→|2＝CD→·CD→＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2(CA→·AB→＋CA→·BD→＋AB→·BD→)＝b2＋a2＋b2＋2(0＋b2cos60°＋0)＝a2＋3b2，∴|CD→|＝a2＋3b2，即CD＝a2＋3b2.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b||a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④D本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.7B.10C.13D．4C解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝13.本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．62B．6C．12D．144解析因为PC→＝PA→＋AB→＋BC→，所以PC→2＝PA→2＋AB→2＋BC→2＋2AB→·BC→＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.所以|PC→|＝12.C本专题栏目开关填一填研一研练一练3.1.3练一练·当堂检测、目标达成落实处空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．本专题栏目开关填一填研一研练一练