应用数学方向动力系统第二章非线性微分方程动力系统的一般性研究

1第二章非线性微分动力系统的一般性研究在对一个由非线性微分方程所描述的数学模型设计一个计算格式之前，在对该模型所表示的控制系统进行镇定设计或其他工作之前，人们往往希望对该系统可能呈现的动态特性有一个清楚的了解。特别是当系统模型包含若干个可变参数时，人们又希望知道，这些参数的变化将如何影响整个系统的动态特性。本章主要介绍非线性微分方程的一般理论，它将是进一步研究和讨论以下几章的基础。本章中将研究非线性常微分方程定义的动力系统：()dxxfxdt(2.1)其中nxR，()fx是定义在某个开集nGR中的一阶连续可微函数。首先，介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征。然后，分别介绍非线性微分方程的解的动态特性研究中的三个主要的内容，即方程的平衡点、闭轨以及轨线的渐近性态分析。2.1常点流、直化定理本节介绍系统(2.1)的流在任何常点邻域的拓扑结构的共同特征，即证明如下的直化定理。定理2.1设有定义在开集nGR上的动力系统(2.1)，0xG是它的一个常点，则存在0x的邻域0()Ux及其上的rC微分同胚，它将0()Ux内的流对应为nR内原点邻域的一族平行直线段。证明：由于0x是常点，0()fx是nR中的非零向量，通过非奇异线性变换（坐标轴的平移、旋转和拉伸），可将0x对应为新坐标系的原点，且0()fx化为列向量(1,0,,0)T（简记为(1,0)T），其中T表示向量的转置，0代表(1)n维零向量，而微分系统可化为(),(0,0)(1,0)Txfxf(2.2)与此同时，0x的邻域V，在线性变换的作用下化为210(),()nVRRx原点O参见图2.1(b)。根据解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在0(0,0)的邻域10()nIUV和包含0的区间J，使得系统(2.1)从10nIU中任何一点出发的解()t在J上存在，且关于其变量是rC连续可微的。进一步，10:()nJIUV，即对任意的10(,)nsqIU，其中121(,,,)nqqqq，系统(2.1)过(,)sq点有解曲线(,,):()tsqJV满足(0,,)(,)Tsqsq。令(,)(,0,)tqtq，则得到映射1:()nJUV。考察导算子(0,0)D，因(0,0)(0,0,0)||((0,0,0))(0,0)(1,0)Tdfftdt。又由于(0,0,)(0,)qq，故有(0,0)(0,0,0)10||TnqqE，其中1nE表示(1)n阶单位方阵。于是导算子3(0,0)nDE。由反函数定理知，在(0,0)的一个邻域，为局部微分同胚。取0x的邻域011()()nUxJU。由于,均为微分同胚，因而1也是微分同胚，且它将nR中(2.1)的常点0x的邻域0()Ux内的流映射为nR中开集1nJU内的一族平行于t轴的直线段（见图2.1）。证毕。0x1OV()V1nJUtqsqO()a()b()c图2.1对于离散系统g的常点，有类似结论。只需改为：在常点邻近的离散轨道在微分同胚之下，都相应分布在一族平行直线段上。2.2平衡点及其动态特性2.2.1基本概念考虑以下非线性常微分方程定义的动力系统：定义2.1假设x是系统(2.1)的一个平衡点，它是“稳定的”是指：如果对x的任一个邻域V，存在—个子邻域，使沿系统(2.1)的任何—个满足初始条件：0(0)xx的解0(,)xtx对0t皆在V存在且位于V之中(图2.2)。进而，如果可选得一个1V，使得对任何01xV都有40lim(,)txtxx那么x被称为是浙近稳定的平衡点或汇(图2.3)。图2.2稳定平衡点图2.3渐近稳定平衡点定义2.2假设x是系统(2.1)的一个平衡点，且()Dfx没有零特征值和纯虚数特征值，那么x被称为是双曲型的平衡点或非退化平衡点。显然，对双曲型平衡点而言如果()Dfx所有特征值皆有负实部，那么x是渐近稳定平衡点，而当()Dfx的特征值中某些具有负实部，另一些却具有正实部时，x是不稳定的，它被称为鞍点(saddle)；进而，如果()Dfx所有持征值皆有正实部，那么x是不稳定平衡点，此时被称之为源(source)。例题2.1(Lienard方程)考虑(),xyFxyx的平衡点及其稳定性。易推得，Lienard方程的等价形式为()()0,xfxxgx其中()gxx，50()()xFxfudu。从定义可知，该方程平衡点是(0,(0))F，同时该系统在平衡点处Jacobian矩阵为(0)1,10FD其两个特征值没分别是21/21[(0)((0)4)],2FF所以，当(0)0F时，平衡点(0,(0))F是汇；而(0)0F时，(0,(0))F是源。2.2.2平衡点稳定性分析对于双曲型平衡点而言，其稳定性完全可以由相应的线性化系统来判断。假设x是系统(1.1)的一个平衡点，那么在点x系统的线性化系统定义为(),.nDfxR(2.3)其中[/]ijDffx是()fx的Jacobian矩阵，,||1xx。以下定理给出了—个十分有用的结论，即双曲型平衡点的稳定性与其相应的线性近似系统在原点的稳定性—样。定理2.2如果()Dfx没有零或纯虚数特征值，那么存在一对一连续可逆变换(称之为同胚)，它定义于nR中x的某个邻域之内，将非线性方程的解映射为相应线性方程(1.2)的解，并保持解的性态不变。以上定理的证明可以在HartmanP．在1964年出版的专著中找到。这里不再引述。然而，当x不是双曲型不动点时，就无法应用上述定理，从线性化系统来判断其稳定性，下面的Liapunov定理给出了—条途径。6定理2.3假设x是系统(2.1)的一个平衡点，如果存在一个可微函数V，它定义于x的某个邻域UW内，且①()0Vx，当xx时()0Vx。②(())0dVVxtdt，在{}Ux中，其中()xt是(2.1)的轨线。那么x是稳定的。进而，如果0V在{}Ux中，那么x是渐近稳定的。上述定理给出了一个并不需要求解而判断不动点稳定性的方法，但是定理中的函数V(被称为Liapunov函数)的构造却是一件不容易的事。上述定理的证明可参见常微分方程有关稳定性理论的部分。2.2.3平衡点的稳定流形和不稳定流形定义2.3系统(2.1)的稳定子空间记作1span{,,}snsEvv，不稳定子空间记作1span{,,}unuEuu，而中心子空间记作1span{,,}cncEww。其中1,,snvv是对应于具有负实部特征值的广义特征向量，1,,unuu是对应于正实部特征值的广义特征向量，而1,,cnww是对应于具有零实部的特征值的广义特征向量。sucnnnn。它们分别又称为不变稳定、非稳定和中心子空间。例题2.2如果110()110,002Dfx那么span{(1,0,0),(1,1,0)},span{(0,0,1)},.sucEEE如图2.4所示。7图2.4广义特征空间定义2.4假设x是(2.1)的一个平衡点，系统(2.1)的流是()tx，那么x的局部稳定流形()slocWx和局部非稳定流形()ulocWx分别是(){|()(),(),0},(){|()(),(),0},slocttulocttWxxUxxtxUtWxxUxxtxUt其中nUR是x的一个邻域。不难看出()slocWx和()ulocWx给出了线性化系统(2.1)的稳定子空间sE和不稳定子空间uE的非线性的模拟。以下定理给出了更确切的描述。定理2.4(平衡点稳定流形定理)假设()xfx有一个双曲平衡点x，那么存在局部稳定和不稳定流形()slocWx和()ulocWx，其维数为sn和un，分别与线性化系统()Dfx的子空间sE和uE的维数相等，且与sE和uE相切。同时，()slocWx和()ulocWx与f具有相同的光滑性。上述结论如图2.5所示，其证明可参阅Hartman[1964]和[7]。8图2.5稳定流形进而还有如下的中心流形定理。定理2.5假设f是nR上定义的一个rC向量场，()0fx。让(0)ADf，其谱分解为0,;Re0,;0,.scu又设,sc和u的广义特征空间分别是,scEE和uE。那么，存在着rC稳定的不变流形sW和不稳定的不变流形uW分别在x与sE和uE相切和—个1rC中心流形cW与cE在x相切。其中sW和uW是唯—确定，而sW并非唯一(如图2.6)。9图2.6中心流形、稳定流形和不稳定流形定义2.5全局稳定和不稳定流形分别为00()(()),()(()).sstloctuutloctWxWxWxWx根据微分方程(2.1)的解的存在性和唯一性可知，两个不同的平衡点的稳定(或非稳定)流形不能相交；()sWx(或()uWx)也不能自我相交；而不同的平衡点或同一个平衡点的稳定流形和不稳定流形却可能相交。例题2.3考虑二维系统2,.xxyyx原点(0,0)是其唯一的平衡点，其线性化系统为,.xxyy易得22{(,)|0},{(,)|0},suExyRxExyRy1023(0,0){(,)|/3},(0,0).ussWxyRyxWE分别如图2.7所示。图2.7稳定流形和不稳定流形2.3闭轨及其动态特性2.3.1基本概念从线性微分方程内容已知，常微分方程除了平衡点是其解外，还有可能出现周期解，即假设()xt为系统(2.1)的解，且存在一个常数T，0T，使得()(),0xtxtTt，那么()xt就是(2.1)的一个周期解，该轨线称之为闭轨（闭环）或周期轨线。类同平衡点的情况，有：定义2.6让为系统(2.1)的一个闭轨(closedorbit)，U为的某一个邻域。那么，它的稳定流形()slocW和不稳定流形()ulocW分别为(){||()|0(),,0},(){||()|0(),,0}.slocttulocttWxUxtUtWxUxtUt定义2.7假设是系统(2.1)的一个闭环，()tx为系统的流。如果对某一个开集1UW，1U，存在一个开子集2U：21UU，使得21(),0tUUt，那么是—个稳定的闭环；若对任一个开集1U，都有上述性质，并且112lim((),)0,,ttdxxU其中((),)tdx为流()tx与闭轨间的距离，那么，就称为一个渐近稳定的闭环（如图2.8所示），或周期吸引子。图2.8周期吸引子2.3.2Poincare映射在经典的常微分方程理论中，人们比较详细地研究了线性系统及部分类型非线性系统的周期解的存在性和稳定件，以下所述的Poincare映射法从几何的观点分析了闭执的存在性和稳定性。假定是nR中由非线性系统()xfx的某个流t的一个闭轨，又设nR为一个1n维的超曲面，且()()0fxnx对所有的x皆成立，其中()nx是在x处的单位法向量（此时，称之为流与处处横截）。设与有唯一的交点p，U为p的某个邻域。那么对上某—点q的Poincare映射:PU定义为()()Pqq其中()q是经q点的轨线首次回到所需的时间(一般说来，依赖于q，也不—定等于闭轨的周期()TTp，然而，当qp时将有T)。12图2.9Poincare映射显然，p点是Poincare映射P的一个平衡点。同时，由定义知道，Poincare映射可以从微分方程的通解来取得。例题2.4考虑一个平面系统：2222(),().xxyxxyyxyyxy取横截超