高等数学竞赛讲义

第一讲O.Stolz公式一、序列的情况：例1：例2：求极限解：例3：提示：只需证明，由O.Stolz定理知从而故，()()221111121122.nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa++++++−=−+==+=+→例4：二、函数极限的情况：例1：例2：例3：补充：用定义证明问题，例1：例2：证明：第二讲极限若干问题一、数列极限1、利用单调有界数列必有极限准则例1：，例2：例3：2、利用放缩法例1：例2：二、函数极限1、利用等价代换例1：例2：例3：例4：2、利用定积分例1：例3：求极限。提示：例4：求极限提示：例5：求极限提示：3、利用中值定理例3：求下列极限：例4：4、其他1、例1：2、对数指数求极限法例1：由O.Stolz公式得，知，原式值为1/2。例2：例3：3、等价无穷小量替换法例1：例2：求下列极限：（1）（2）解：第三讲函数相关问题1、函数的连续性例：2、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。例：3、函数的最值定理例：4、函数的介值定理定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(aξb)。例：5、根的存在定理又称为零值点定理，即：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且：f(a)f(b)0,那么在开区间(a,b)上，至少存在一点x0,使得：f(x0)=0.例：第四讲连续性例4：例5：第五讲导数例1：证明：例3：例4：例5：数。例6：已知(sin)(1cos)xattyat=−=−｛，第六讲积分1、不定积分2、定积分例1：例2：第七讲级数例1：例2：例3：例4：第八讲多元函数的积分大纲：矢量及其运算和空间解析几何，多元函数的微分及其性质和应用。二重积分、三重积分、第一、二类曲线与曲面积分的计算，三个重要公式：Green公式、Gauss公式和Stokes公式以及曲线积分与路径无关性的应用和计算。1、第一、二类曲线2、第一、二类曲面积分3、Stokes公式4、Gauss公式设}0,0|),,{(2223≤≤−−−∈=ΩazyxaRzyx，S为Ω的边界曲面外侧，计算∫∫+++++=SzyxdzdxyaxdydzaxI1)(2222解：2221:Szaxy=−−−（下侧），2222:0xyaSz⎧+≤⎨=⎩（上侧），∵20S=∫∫，∴121112222112()11SSSSSSSSaxdydzxadzdxaa+⎛⎞=+==++=−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫��[]1222112()2()11SSaxdydzxaydzdxaxadVaa+Ω=++=++++∫∫∫∫∫�432222113142(32)3231111aaaxdVadVaaaaaππΩΩ=+==⋅⋅=++++∫∫∫∫∫∫