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第一章函数极限连续第一节函数与映射第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小量与无穷大量第五节函数极限的运算法则习题课一习题课二第七节无穷小的比较第八节连续函数第六节极限存在准则两个重要极限第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--22--第一节映射与函数一集合与映射二函数的概念三函数的几种特性四反函数和复合函数五初等函数第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--33--一集合与映射1集合集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA{}Axx所具有的特征有限集无限集,aA,aA如,AB且B中有不在A的元素,BA子集,则称是A.B若,Ax则必Bx就说A是B的子集,记作.BA的真记为第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--44--数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:+NN,NZ,ZQ,QR.},2,1{A例如},023{2xxxC.AC则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.+N----正整数集如果,BA且,AB则称集合A和B相等,)(BA第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--55--2实数集定义1设R,A如果存在数R,L使得对一切,xA都有(),xL则称A有上(下)界,定义2设A是一个非空数集,,s使得对A的一切上(下)界,L都有(),sL则称s是A的上(下)确界,定理1任何一个非空的实数集,A如果有上(下)界,则必有上(下)确界.如果数集A既有上界又有下界,是有界的,AL为A的一个上(下)界.称是无界的.A否则称sup(inf).AA记为若存在一个上(下)界则称第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--66--实数叫做区间的端点.,,abR}{bxax称为开区间,(,)ab记作}{bxax称为闭区间,[,]ab记作oxaboxab区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个.ab且第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--77--}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,[,)ab记作(,]ab记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--88--0().Ua记作.}{)(axaxaUxaaa,a点的去心的邻域.}0{)(0axxaU设a与是两个实数,且0,称数集{|||}xxa为点a的邻域,叫做这邻域的半径.记作().Ua即第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--99--3常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法:通常用字母,,abc等表示常量,用字母,,xyt等表示变量.第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1010--4映射定义3设,AB是两个非空集合,,xA按照某个确定的法则,f有唯一确定的yB与它对应,则称f是A到B的一个映射,:,fAB或:(),.fxyfxxAy其中称为x在映射f下的像,x称为yf在映射下的一个原像(或逆像),A称为映射f的定义域,记为()Df或,fDA所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域,fR或(),fA即(){(),}fRfAyyfxxA若对每个记作记为第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1111--映射的两个基本要素:定义域与对应法则设:,fAB如果,fRB则称f是一个满映射,如果对A中的任意两个不同元素12,xx有12()()fxfx则称f是一个单射,如果一个映射既是满射,则称f是个一一映射.如果f是个一一映射,,yB有唯一的一个,xA适合(),fxy规定(),gyx则g就是B到A上的一个映射,f的逆映射,1:fBA又是单射则对每个称为记为第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1212--其定义域1,ffDRB值域1.ffRDA此时也称f是可逆映射.11()ff设:,:,fABgBC则对每个,xA对应唯一的一个(),yfxB从而对应唯一的一个(),zgyC这样就确定了一个从集合A到集合C的映射,这个映射称为f和g所确定的复合映射,,gf即:,gfAC()()(()),gfxgfxxA任意两个映射,,fg则gf当且仅当.fgRD记为第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1313--5绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1414--二、函数概念例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn)1函数的定义第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1515--因变量自变量000,().xDfxx当时称为函数在点处的函数值定义4数集D叫做这个函数的定义域。(),yfxxD记作则称映射:fDR为定义在D上的一个函数,D是一个给定的数集,设{(),}WyyfxxD称为函数的值域.函数值的全体组成的集合第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1616--(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:函数定义域是自变量所能取的使算式有意义21yx例如,]1,1[:D211yx例如,)1,1(:D的一切实数值。第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1717--如果自变量在定义域内任取一个数值时,如果给定一个法则,有多个确定的y与之对应,一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论.例1求函数2arcsin1yx的定义域.解函数的的定义域为满足不等式2111x例如,222Ryx函数值总是只有一个,按照这个法则,对应的这种函数又称为单值函数.,xD对每个函数.这样的一个法则称为多值第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1818--既满足2011,x212,x因此12x函数的定义域为[2,1][1,2]2函数的图形定义5{(,)(),}CxyyfxxDoxy),(yxxy值域定义域21x或点集称为函数()yfx的图形.在平面直角坐标系下,第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--1919---1xyo(1)符号函数10sgn0010xyxxx当当当3函数的表示法1xxxsgn函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法.几种常用的函数第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2020--阶梯曲线(2)取整函数[]yxx表示不超过[]x的最大整数(3)绝对值函数0,=||0.xxyxxxxyo24242424xy111o第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2121--(4)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2222--221,0,()1,0xxfxxx例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,xyO称为分段函数.第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2323--例2脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图.)0(tt解[0,],2t当时2EUt;2tE,],2(时当t20()EUt2()Et所示,写出电压U与时间的函数关系式Uto)0,(E),2(E2(,),t当时.0U由于()UUt是分段函数,所以()Ut20t2Et2t2()Ett0第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2424--例3101(),(3)212.xfxfxx设求函数的定义域解23121301)3(xxxf212101)(xxxf]1,3[:fD故221x32x1第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2525--三函数的几种特性1函数的奇偶性偶函数,,DxD设关于原点对称对于有)()(xfxf)(xfyxyxo)(xf()fx则称函数为偶函数.-x第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2626--)()(xfxf奇函数yxox-x)(xfy()fx则称函数为奇函数.,,DxD设关于原点对称对于有()fx()fx第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2727--2函数的单调性(),,fxDID设函数的定义域为区间12()(),fxfx)(xfy)(1xf)(2xfxyoI1x2x如果对于区间I上任意两点12,,xx当12xx时,恒有则称函数()fx在区间I上是单调增加的.(单调减少)12(()())fxfx)(xfy)(1xf)(2xfxyoI2x1x设函数()fx的定义域为D,区间,ID第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2828--3函数的周期性(通常说周期函数的周期是指其最小正周期T).设函数)(xf的定义域为,D且)()(xflxf则称)(xf为周期函数,l称为函数)(xfy的周期.如果存在一个不为零的数,l使得对于任一DlxDx,xxlxTxyO()fx()yfx第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--2929--M-Myxoy=f(x)X无界M-MyxoX0x,XD若4函数的有界性().fxX则称函数在有界上.否则称无界0,M,(),xXfxM有成立若0,M0,xX使得0|()|,fxM则()fx在X上无界.第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连续连续吴新民--3030--四反函数与复合函数1反函数定义6称函数()yfx为直接函数.由定义可知,若函数(),yfxxD存在反函数1(),,fxfyyR则(1)对于D的任意两个数121,(),xxx定有12()().fxfx设函数:fDW是一一映射,则其逆映射1:fWD称为函数()yfx的反函数,记为1().xfyyW第一节第一节映射与函数映射与函数第一章第一章函数函数极限极限连
本文标题:高等数学第1章 函数 极限 连续
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