初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第12讲-方程与函数

1第十二讲方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】若关于的方程mxx1有解，则实数m的取值范围．思路点拨可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数xy1，mxy函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．【例2】设关于x的方程09)2(2axaax有两个不相等的实数根1x，2x，且1x12x，那么a取值范围是()A．5272aB．52aC．72aD．0112a思路点拨因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x轴的交点满足1x12x的a的值，注意判别式的隐含制约．【例3】已知抛物线0)21(22axaxy(0a)与x轴交于两点A(1x，0)，B(2x，0)(1x≠2x)．(1)求a的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；(2)若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求a的值．思路点拨1x、2x是方程0)21(22axax的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．2【例4】抛物线)1(2)45(2212mxmxy与y轴的正半轴交于点C，与x轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．【例5】已知抛物线qpxxy2上有一点M(，0y)位于x轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x轴的交点为A(1x，0)，B(，0)，且1x2x，求证：1x0x2x．思路点拨对于(1)，即要证042qp；对于(2)，即要证0))((2010xxxx．注：(1)抛物线与x轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3)一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数cbxaxy2（0a）的图象与x轴交于A（1x，0），B(，0)两点，顶点为C．①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=442acb．②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=1242acb3学历训练1．已知关于x的函数1)1(2)6(2mxmxmy的图象与x轴有交点，则m的取值范围是．2．已知抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于A(，0)，B(，0)两点，且1722，则k．3．已知二次函数y=kx2+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l；②当xx2，时，yO；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1、x2；④x1－l，x2－l；⑤x2－x1=kk241，其中所有正确的结论是(只需填写序号)．4．设函数)5(4)1(2kxkxy的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k＝()．A．8B．一4C．1lD．一4或115．已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b，4b-4c2)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，则b与c的关系式是()A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=06．已知方程1axx有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是()A．a-1B．a＝1C．a≥1D．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．（1）a、c的符号之间有何关系？（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a、c的值．48．已知：抛物线cbxaxy2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且1x2x)，且132221xx．(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2)设此抛物线与y轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的32倍，求点M的坐标．9．已知抛物线mmxxy223212交x轴于A（1x，0）、B（2x，0），交y轴于C点，且1x＜0＜2x，1122COOBAO.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m是整数，且方程0232mxx的两根都大于59而小于73，则=.11．函数732xxy的图象与函数63322xxxxy的图象的交点个数是．12．已知a、b为抛物线2))((dcxcxy与x轴交点的横坐标，ba，则bcca的值为．13．是否存在这样的实数k，使得二次方程0)23()12(2kxkx有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2axaxy的图象与x轴只有一个交点．(1)求a的值；(2)求61832aa的值．15．已知以x为自变量的二次函数23842nnxxy，该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程0)4)(1(2)67(2nnxnx的一整数根，求n的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满足关系式OBOAOC2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC的面积．17．设p是实数，二次函数ppxxy22的图象与x轴有两个不同的交点A（1x，0）、B5（2x，0）．(1)求证：032221pxpx；(2)若A、B两点之间的距离不超过32p，求P的最大值．(6参考答案7