初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第21讲-从三角形的内切圆谈起

1第二十一讲从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c(斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：(1)2cbar；(2)cbaabr．请读者给出证【例题求解】【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·PC为定值；④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是()A．①②③B．②③④C．①③④D．①④思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．2【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．(全国初中数学联赛试题)思路点拨连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．【例4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．(1)问∠BOZ能否为120°，并简要说明理由；(2)证明△AOF∽△EDF，且21OADEOFDF；(3)求DF的长．思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程．注：如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：(1)以边AB为直径的圆与边CD相切；(2)以边CD为直径的圆与边AB相切．类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：(1)O1O⊥CO2；(2)OC=O1O2．(武汉市选拔赛试题)思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．3学力训练1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=cm．2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心的坐标是．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=．4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于()A．54B．45C．43D．655．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为()A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是()A．点O是△DEF的外心B．∠AFE=21(∠B+∠C)C．∠BOC=90°+21∠AD．∠DFE=90°一21∠B7．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO．(1)求证：△ABO∽△OCD；(2)若AB、CD是关于x的方程0)1()1(2522mxmx的两个实数根，且S△ABO+S△OCD=20，求m的值．48．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．(1)若BC=3，CD=1，求⊙O的半径；(2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是⊙O的切线；(3)过D点作DG⊥BC于G，OG与DG相交于点M，求证：DM＝GM．9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm／秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm／秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．(1)求⊙O的直径；(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积；(3)是否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(2002年烟台市中考题)10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则OlO2=．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE·EB=．12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的()A．内心B．外心C．圆心D．重心13．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为()A．a251B．a231C．b251D．b23114．如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为()A．21B．32C．43D．不能确定(《学习报》公开赛试题)15．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB．在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．(1)设AD是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；(2)不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．⌒516．如图，△ABC的三边满足关系BC=21(AB+AC)，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H．求证：(1)AI=BD；(2)OI=21AE．17．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论．18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PH⊥OA于H，△OPH的重心为G．(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度；(2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；(3)如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．⌒6参考答案7