同济六版高数练习册答案 第八章 多元函数微分法及其应用

第八章多元函数微分法及其应用§1极限与连续1．求下列极限：（1）2201)ln(limyxexyyx；解：初等函数在其定义域内连续。2201)ln(limyxexyyx=02210ln(1)10limxye=ln2（2）xyxyyx42lim000014(24)limxyxyxyxy（3）11lim00xyxyyx00(11)2limxyxyxyxy（4）20sin()limxyxyy=20sin()212limxyxyxxy（5）22222200)()cos(1limyxyxeyxyx22222222222000011()()220()limlimxyxyxxyyxyxyxyee2．证明下列极限不存在（1）yxyxyxlim00；解令ykx则000011limlimxxyyxyxkxkxyxkxk，不同的路径极限不同，故极限不存在。（2）2222200)(limyxyxyxyx.当yx时22222001()limxyxyxyxy当2yx时424220000440441limlimxxyyxxxxx，不同的路径极限不同，故极限不存在3．用定义证明：02200limyxxyyx.解：由22222222221()20xyxyxyxyxyxyxy，故对0取，当22(0)(0)xy时220xyxy，故02200limyxxyyx§2偏导数1．求下列函数的偏导数：（1）)(cos)sin(2xyyxxz；sin()cos()2cos()[sin()]sin()cos()sin2zxyxxyxyxyyxyxxyyxyxcos()2cos()[sin()]cos()sin2zxxyxyxyxxxyxxyy（2）)ln(xyz解：12ln()zxy，12111ln()()22ln()zxyyxxyxxy12111ln()()22ln()zxyxyxyyxy（3）yxeyxz2tanln2222111(sec)2cotsec2tanxyxyzxxxeexxyyyyyy2222221(sec)()cotsectanxyxyzxxxxxeexyyyyyyy（4）yxyz)1(解：关于x是幂函数故：121(1)(1)yyzyxyyyxyx，关于y是幂指函数，将其写成指数函数ln(1)yxyze，故：ln(1)1[ln(1)](1)(ln(1))11yxyyzxyexyyxxyxyyxyxy（5）zyxu)(关于x是幂函数故111()()zzuxzxzxyyyy，关于y是幂函数故1122()()()zzuxxxzxzyyyyy，关于z是指数函数()lnzuxxzyy。（6）zyxu)arctan(11221()()1[()]1[()]zzzzuzxyxyzxxyxy11221()()(1)1[()]1[()]zzzzuzxyzxyyxyxy221()ln()()ln()1[()]1[()]zzzzuxyxyxyxyzxyxy2．填空（1）曲线4422yyxz在点)5,4,2(处的切线与x轴正向所成的倾角为解法一：由偏导数的几何意义知：函数224xyz在点(2,4)关于x的偏导数就为曲线在点)5,4,2(处的切线与x轴正向所成的倾角（记为）的正切，即：(2,4)tan|zx，得(2,4)2tan|14x，故4。解法二：求曲线在点)5,4,2(处的切向量，将曲线参数化为24164xxyxz，在x的切向量为1,0,2x，故曲线在点)5,4,2(处的切向量为1,0,1，若记它与x轴正向所成的倾角为，则2221cos101，故曲线在点)5,4,2(处的切线与x轴正向所成的倾角为4（2）设yxyxyxfarcsin)1(),(，则)1,(xfx=法一：(,1)(11)arcsin1xfxxx，故(,1)(,1)1xxdfxfxdx法二211(,)1(1)1xfxyyyxy故(,1)(,)|11xxxxfxfxyy（3）设)11(yxez，则yzyxzx22=.由11()21xyzexx，11()21xyzeyy，有11()2222xyzzxyezxy3．设222232,(,)(0,0)(,)()0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy用定义证明：),(yxf在)0,0(处连续，且偏导数存在.证明（1）用定义证明),(yxf在)0,0(处连续：由22222221222322232()0()()()xyxyxyxyxy，故00lim(,)0(0,0)xyfxyf，故),(yxf在)0,0(处连续（2）00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0xxxfxffxx00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0yyxfyffyy4．求下列函数的二阶偏导数yxzyzxz22222,和：（1）yxzarctan222111zyxyxyxy，22221()1zxxyyxyxy2221222222222()()(())()22()zzyyxyyxyxxyxyxxxxxyx2221222222222()()(())()22()zzxxxyxxyyxyxyyyyyxyx2222222222222()2()()()()zzyxyyyxyxyyxyxyxyxy（2）lnxzylnln1lnlnxxzyyyyxxx,ln1lnxzyxy,lnln2ln2ln222ln[()ln]lnlnlnln()()xxxxyyyxyyzzyyyyxyxxxxxxx22ln1ln2ln22lnln()(ln)(ln1)lnxxxzzxxyxxyxyyyyyylnln12lnln(ln)lnlnlnln1()()xxxxyyxyzzyyxyyyxyyxyxxxy4．验证222zyxr满足：rzryrxr2222222证明：222rxxxrxyz，222222222222223222()()()xxyzxyzrrxxrxxxxxrxxyzrxyz同理可得22223rryyr，22223rrzzr，故2222222222223332rrrrxryrzxyzrrrr5．设)ln(xyxz，求23yxz1ln()ln()1zxyxyxyxxy，211()(ln()1)zzxyxxyyxyxyy，322211()()zzxyyxyyyy§3全微分1．判断（1）若函数),(yxfz在点0P可微，则函数在点0P偏导数存在.（T）（2）偏导数存在是可微的充分条件.（F）(必要条件)（3）可微必连续.（T）（4）连续必可微.（F）（5）若函数在一点偏导数存在且连续，则函数在该点一定可微.（T）2．求下列函数的全微分：（1）xyez；法一：2yxzyexx，1()yyxxzeeyxx22()yyyxxxzzyeeydxxdydzdxdydxdyexyxxx法二221()[()]yyyxxxyyydxxdydzededxdyexxxx（2）222yxyz；133222222222322212[2]2()222zxyyxyyxyxxyxyxxxy，22222322222222yxyyxyzxyxyxy233223222222222()()zzxyxxdzdxdydxdyxdyydxxyxyxyxy（3）()zuxy.11()()zzuzxyyyzxyx,11()()zzuzxyxxzxyy,()lnzuxyxyyuuududxdydzxyz=)ln()(xydzdyyzdxxzxyz3．利用微分的形式不变性求函数)4ln(22yxz的偏导数，并求21yxzd的值.222222221122(4)(22)444xdxydydzdxyxdxydyxyxyxy,1222(21)(22)2441299xydxdydzdxdy4．讨论函数222222221()sin0,(,)00,xyxyxyfxyxy在)0,0(点的可微性.分析用定义去证明函数(,)fxy在00(,)xy可微性，（1）首先考察在00(,)xy的可导性，若不可导，则不可微。（2）若可导求出00(,)xfxy，00(,)yfxy，算出全增量0000(,)(,)zfxxyyfxy，和偏增量0000(,)(,)xyfxyxfxyy，（3）考察全增量与偏增量之差是否是22()()xy的高阶无穷小，即极限000000002200[(,)(,)][(,)(,)]lim()()xyxyfxxyyfxyfxyxfxyyxy是否为零。若为零则可微，否则不可微。解：首先考察在)0,0(的可导性，2220001()sin0(0,0)(0,0)1()(0,0)limlimlimsin0()xxxxxfxfxfxxxx（无穷小乘有界函数为无穷小）2220001()sin0(0,0)(0,0)1()(0,0)limlimlimsin0()yyyyyfyfyfyyyy全增量22221(0,0)(0,0)[()()]sin()()zfxyfxyxy偏增量0000(,)(,)0xyfxyxfxyy2222222200001[()()]sin[0,00,0]()()limlim()()()()xyxxyyxyzfxfyxyxyxy122222001lim[()()]sin0()()xyxyxy（无穷小乘有界函数为无穷小）故函数在)0,0(点的可微。5．计算33)97.1()02.1(的近似值.解：令33(,)fxyxy，由于函数是初等函数故在1,2可微(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)xyfxyffxfy223333331122()()22xyxxxyyyxyxy，即1(1,2)2(1,2)2fxyxyf，故：331(1.02)(1.97)10.02,2(0.03)