数学分析(Ⅱ)试题与参考答案

数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A．1(1)nnB．1(1)nnnC．21(1)nnnD．11(1)nnn2、若f是(,)内以2为周期的按段光滑的函数,则f的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点x处（）．A．收敛于()fxB．收敛于1((0)(0))2fxfxC．发散D．可能收敛也可能发散3、函数)(xf在],[ba上可积的必要条件是（）．A．有界B．连续C．单调D．存在原函数4、设()fx的一个原函数为lnx，则()fx（）A．1xB．lnxxC．21xD．xe5、已知反常积分20(0)1dxkkx收敛于1，则k（）A．2B．22C．2D．246、231ln(ln)(ln)(1)(ln)nnxxxx收敛，则（）A．xeB．xeC．x为任意实数D．1exe二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nnnax在2x处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn，则其通项nu，和S．3、曲线1yx与直线1x，2x及x轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaefedxfxdx，则a，b．5、数集(1)1,2,3,1nnnn的聚点为．6、函数2()xfxe的麦克劳林（Maclaurin）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxxx．2、2lnxxdx．3、220(0)aaxdxa．4、200coslimsinxxtdtx．5、201sin2xdx．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性．2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()fxx,将f在(,)上展为傅里叶（Fourier）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nna与1nnc都收敛，且,1,2,3nnnabcn，证明：级数1nnb也收敛．2、证明：2200sincosnnxdxxdx．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2,=2(1)nuSnn⒊ln2⒋1,abe⒌1⒍201,(,)!nnxxn三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1xxxx1(1)dxxx（3分）11()1dxxxlnln1.xxC（3分）2.解由分部积分公式得231lnln3xxdxxdx3311lnln33xxxdx（3分）33111ln33xxxdxx3211ln33xxxdx3311ln39xxxC（3分）3.解令sin,[0,]2xatt由定积分的换元积分公式，得220aaxdx2220cosatdt（3分）6768220(1cos2)2atdt2201(sin2)22att2.4a（3分）4.解由洛必达(L＇Hospital)法则得200coslimsinxxtdtx20coslimcosxxx（4分）0limcosxx1（2分）5.解201sin2xdx220(sincos)xxdx（2分）20sincosxxdx4204(cossin)(sincos)xxdxxxdx（2分）2404(sincos)(sincos)xxxx222.（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(,),xn+（正整数）22sin1nxnn（3分）而级数211nn收敛，故由M判别法知，21sinnnxn在区间(,)上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn，收敛区间为(1,1)．（2分）易知1nnxn在1x处收敛，而在1x发散，故1nnxn的收敛域为[1,1)．（2分）01,(1,1)1nnxxx（2分）逐项求积分可得0001,(1,1)1xxnndttdtxt．即101ln(1),(1,1).1nnnnxxxxnn（2分）3.解函数f及其周期延拓后的图形如下函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier级数。（2分）由于()fx在(,)为奇函数，故0,0,1,2,nan…，而1sin11coscosnbxnxdxxnxnxdxnn1(1)2nn（4分）所以在区间(,)上，11sin()2(1).nnnxfxxn（2分）6970五、证明题（每小题5分，5×2＝10分）1.证明由1nna与1nnc都收敛知，级数1()nnnca也收敛。（1分）又由,1,2,3nnnabcn，可知，0,1,2,3,nnnnbacan从而由正项级数的比较判别法知1()nnnba收敛，（2分）于是由(),1,2,3,nnnnbbaan知级数1nnb收敛．（2分）2.证明令2xt，则2tx.（1分）由定积分的换元积分公式，得0202sinsin()2nnxdxtdt－（2分）2200sin()cos2nntdttdt20cosnxdx（2分）