鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总

1鸡兔同笼类问题中的各种解法分析小汇总1.典型鸡兔同笼问题详解例1鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成通俗易懂的内容如下：鸡兔共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？经梳理，对于这一类问题，总共有以下几种理解方法。（1）站队法让所有的鸡和兔子都列队站好，鸡和兔子都听哨子指挥。那么，吹一声哨子让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）那么再吹一声哨子，然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）；鸡：35-12=23（只）（2）松绑法由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个，因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚。2那么，兔子就成了2只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70（只）比题中所说的94只要少：94-70=24（只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，不断地一个一个地松开绳子，总的脚数则不断地增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只）从而鸡数：35-12=23（只）（3）假设替换法实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似，只不过是换种方式进行理解。假设笼子里全是鸡，则应有脚70只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一只兔子替代鸡，则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。兔子数=（实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）与前相似，假设笼子里全是兔，则应有脚120只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。每一只鸡替代兔子，则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量，即2只。鸡数=（每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）3将上述数值代入方法（1）可知，兔子数为12只，再求出鸡数为23只。将上述数值代入方法（2）可知，鸡数为23只，再求出兔子数为12只。由计算值可知，两种替代方法得出的答案完全一致，只是顺序不同。由替代法的顺序不同可知，求鸡设兔，求兔设鸡，可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。（4）方程法随着年级的增加，学生开始接触方程思想，这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分简单。第一种是一元一次方程法。解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只4x+2（35-x）=944x+70-2x=94x=12注：方程结果不带单位从而计算出鸡数为35-12=23（只）4第二种是二元一次方程法。解：设鸡有x只，兔有y只。则存在着二元一次方程组的关系式x+y=352x+4y=94解方程式可知兔子数为y=12则可计算鸡数为x=23以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法，在没有接触方程思想之前，用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后，则可以用第四种方法进行学习。2.鸡兔同笼问题的衍生（非方程思想）例2现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中。大矿泉水瓶一瓶装3千克，小矿泉水瓶1瓶装1千克，问大、小矿泉水瓶各多少个？大小瓶共装的100千克水即为总水量，对应上一例中鸡兔总共拥有的74只脚即为总脚数。5大矿泉水瓶1瓶装3千克水对应每只兔子所拥有的4只脚。小矿泉水瓶1瓶装1千克水对应每只鸡所拥有的2只脚。类型水量总量100总数60多量3少量1对应关系理清之后，按照例1中的方法即可求出，大矿泉水瓶子有20个，小矿泉水瓶子有40个（具体解题过程不详述）。例3聪明昊参加数学竞赛，共做20道题，得70分，已知做对一道题得5分，做错一道题扣1分。问聪明昊做对了几道题？这一题依然与上述问题思路一致，只是少量变成了扣一分。在此提示，按照替代法进行计算，先假设全部做对，则应得分100分。而实际上却少得了100-70=30（分）这30分的差距就是因为一道错题替换了一道正确的。每一道题进行替换就会带来5+1=6（分）的差值（注意一对一错，差值是两者的和）。因此做错了5道题，做对了15道题。6在这种情况下，小量不是增加而是减少或扣时，一般先假设大量进行替换计算。例4现有100千克的水装了共60个的矿泉水瓶子中。大矿泉水瓶1瓶装4千克，小矿泉水瓶2瓶装1千克，问大、小矿泉水瓶各多少个？这道题需要认真审题，小矿泉水瓶是2瓶装1千克。当瓶子的数目不全是单位1时，思路可以如下。假如能运用小数，则直接将2瓶装1千克转化为1瓶装0.5千克，则变成与例1中所述方式一样。假如对小数不熟悉，则可以将2瓶子视为一组。则全部瓶子有30组，大矿泉水瓶一组装8千克，小矿泉水瓶一组装1千克，按照例1中所述方式，可以求出大小矿泉水瓶各有的组数，用组数乘以2则可以求出瓶数。上述3个问题仍然是两个因素的比较，因而只要将问题中的因素与鸡兔同笼问题中的因素一一对应即可计算出来。例5聪明昊完成工作后领得工资240元，包括2元、5元、10元三种人民币共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元、5元、10元各有多少张？这一道问题相比前面的问题复杂一些，变成三个因素。但是通过审题我们发现，他给出7了一个条件那就是2元与5元的张数一样多。因此，由于这两种人民币数量一样多，可以将其当作一个整体进行计算，与10元进行比较。因此先假设全部是10元的人民币，则应有工资：50*10=500（元）比实际多出：500-240=260（元）这多出的260元就是因为用2元与5元替换了10元。由于拿一张5元替换10元时，必定要拿一张2元替换10元，因此依然可以将2张人民币作为一组。每替换一组，工资减少10-5+10-2=13（元）则由此可知，共替换的人民币组数：260/13=20（组）则总共替换的人民币张数：20*2=40（个）因而计算得出10元人民币的张数：50-40=10（张）；2元和5元人民币的张数分别为：40/2=20（张）由此题可知，虽然变成了三个因素的关系，但是由于题中给出了其中两个因素的相互关系，因此可以将有相互关系的因素进行捆绑，从而转化为两个因素的计算，便与例1相同。注：如果对小数比较熟悉，也可以将2和5元看成一张3.5元进行假设替换，需要替8换40张，2元和5元各20张。小朋友可以自己思考。例6蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共21只，有140条腿和23对翅膀.每种小虫各几只？由上述题目可知，总量分别包括了腿和翅膀两种，其中蜘蛛1只有8腿，而单个蜻蜓和单个蝉的腿数相同，都为6条。因此可以按照题（4）的方式利用腿的关系求出蜘蛛的个数以及蜻蜓与蝉的个数和。由于翅膀只有蜻蜓和蝉拥有，再次利用例1的思路，针对翅膀这一数量关系，可以分别计算出蜻蜓和蝉的个数。本题答案是蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只（具体过程此处不详细列出）。关于鸡兔同笼的第一大类型题就讲到这儿，接下来进入第二大类型题。3.前文中结出的条件之一都是鸡兔同笼中的总头数，即“两数之和”。如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？例7鸡兔共有94只脚，其中鸡数比兔子数多11只，求问鸡兔各有多少只？（1）去多法9如果抓出11只鸡杀掉，则笼子里就剩下相同数量的鸡和兔子。此时，笼子中鸡和兔的脚总量为94-11×2=72（只）每一只鸡和每一只兔子共有脚4+2=6（只）这时候，将一只鸡和一只兔子看做一组，一组共有6只脚。则抓出鸡后，笼子里剩余的鸡与兔的组数分别为72/6=12（组）那么可知兔子有12只，再通过计算得出鸡的数量为12+11=23（只）（2）同增同减法假设笼子里有兔子1只，则有鸡12只，可以计算出1只兔子和12只鸡共有脚的数量为：1×4+12×2=28（只）比实际的94只少：94-28=66（只）因此还要增加兔子的数量。为了保持鸡比兔子多11只，每增加1只兔子，就要增加1只鸡8，因此需要同时增加的腿数为4+2=6（只）因此增加66只脚则需要增加的鸡和兔子的数量为66÷6=11（只）根据前文的假设条件可计算出兔子的数量为：1+11=12（只）；鸡的数量为：12+11=2310（只）例8古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。一本诗选集中五言绝句比七言绝句多3首，诗集中共有数字300个。问两种类型的诗各多少首？这道题与例7完全一致，只不过七言绝句对应兔，五言绝句对应鸡，多的13首诗对应多的11只。因此，可以按照上述两种思路进行计算。如果去掉3首五言绝句，两种类型的诗的数量就相等，此时去掉的字数为（应注意一道诗4句）：3×5×4=60（个）此时仍有字数为：300-60=240（个）1首五言和1首七言绝句的字数和为：5×4+7×4=48（个）则去掉3首五言绝句后，仍有五言和七言绝句的数量为：240/48=5（首）从而得出七言绝句有5首，而计算出五言绝句共有：5+3=8（首）此外还可以按照例7的方法2完成这道题，假设七言绝句有1道，则五言绝句有4首，如此类推。此处不再说述。例9在例8的基础上进行修改，假设在这一诗选集中五言绝句比七言绝句多13首，总11字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首？（1）如果去掉13首五言绝句，两种类型的诗的首数就相等。在相同数量下，七言绝句比五言绝句多出的字数个数为（五言绝句原本就差20，再减少了13首五言绝句）：13×5×4+20=280（个）每首七言绝句比每首五言绝句多出的字数个数为：7×4-5×4=8（个）因此，七言绝句的数量为：280/8=35（首）；则五言绝句有：35+13=48（首）（2）假设七言绝句是1首，那么根据相差13首，五言绝句是14首。那么五言绝句的字数为：20×14=280（个）；七言绝句的字数为：28×1=28（个）假设情况下，五言绝句的字数反而多：280-28=252（个）为实现题目中“五言绝句比七言绝句少20字”，需要增加诗的数量，其中每增加一首，七言绝句比五言绝句多增加字数：252+20=272（个）为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，即增加一首，七言比五言多增加字数数量为：7×4-5×4=8（个）12因此七言绝句和五言绝句的首数要比假设增加：272÷8=34（首）五言绝句有：14+34=48（首）；七言绝句有：1+34=35（首）答：五言绝句有48首，七言绝句有35首。至此，鸡兔同笼问题的基本分析结束，其他类似的问题不外乎是在这个基本框架上的变化，都是可以通过简化、转变最终变成鸡兔同笼问题进行分析。当然在学习了方程思想后，鸡笼同笼问题将会变得十分简单。本文不在此对这一内容进行分析。除此之外，由于本文主要是思路讲解，因此所有例题中均没有写答句。在实际的考试中，每一道应用题得出答案都一定要写答句，如例9所示。