机械工程控制基础第六章-文档资料

1第六章控制系统的稳定性分析控制系统能实际应用的首要条件—系统稳定。判别系统稳定性的准则—系统的稳定性判据。劳斯判据:依据闭环系统特征方程式对系统的稳定性做出判别，是一种代数判据。奈奎斯特判据:依据系统的开环极坐标图与（−1，0）点之间的位置关系对闭环系统的稳定性作出判别，是一种几何判据。波德判据:是奈奎斯特判据的另一种描述法，它们之间有着相互对应的关系。2跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。第一节控制系统稳定性的基本概念31940年11月7日，在一阵每小时42英里的“和风”吹拂下坍塌了。彩色图为1949年重建的塔科马。4一．稳定性概念控制系统的稳定性：①系统在给定信号作用下，输出应能达到新的平衡状态；②在扰动去掉之后，系统的输出能以足够的精度恢复到原来的平衡状态。曲线1：系统经过衰减振荡后趋于稳定曲线2：系统达到一定的峰值后趋于稳定y(t)t0125控制系统的稳定性是由系统本身的结构所决定的，而与输入信号的形式无关。若系统承受的外界扰动终止作用后，系统输出不能再恢复原先的平衡状态位置，或发生不衰减的持续振荡，这样的系统就是不稳定的。1－等幅振荡2－发散振荡y(t)t126系统的稳定性：系统存在干扰，干扰信号为脉冲信号。系统1：衰减振荡，系统稳定；系统2：等幅振荡，系统处于临界状态；系统3：发散振荡，系统不稳定。y2(t)ty3(t)tt系系1x(t)y1(t)系系2x(t)y2(t)系系3x(t)y3(t)x(t)ty1(t)7a系系系系系系系系1.稳定平衡点a：作用在小球上的有限干扰力消失以后，小球总能回到a点；2.不稳定平衡点b：只要有干扰力作用于小球，小球就不会再回到这点；3.若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。系系系系b小球的稳定性8二．系统稳定的条件01110111212)()()(1)()()(asasasabsbsbsbsHsGsGsGsNsYnnnnmmmmG1(s)G2(s)H(s)N(s)X(s)Y(s)-)()()()(01110111sNbsbsbsbsYasasasammmmnnnn即：9撤除扰动：0yadtdyadtydadtydadtyda012n2n2n1n1n1nnnn根据齐次微分方程的有关定义知道，该齐次微分方程的特征方程和解的一般形式为：0)()(0111sYasasasannnn即：)1(00111asasasannnn)2()(2121tsntstsnececectycn为由初始条件决定的积分常数，sn为特征方程的根。10)4()sincos()(11riiiiitkitsitFtEeeDtyji(2)可改写成：由(3)、(4)可知，若si、δi都是负的，则当t→∞时，y(t)→0。这说明控制系统的特征方程式的根是负实根或共轭复根具有负实部时，系统是稳定的。如果(1)中有k个实根，2r个复根，则(1)可改写成：)3(011kiriiiiiinjsjsssa11线性定常系统稳定的充要条件（三种说法）：③对于闭环传递函数的特征根来说，下述四个条件缺一不可：没有零根；没有共轭纯虚根：Re(s)=0，系统等幅振荡；所有实根都是负的；共轭复根具有负实部。②该系统闭环传递函数特征方程的所有根必须是负实数或具有负实部的共轭复根。①该系统全部极点必须位于复平面的左半部分。12例：某单位负反馈系统的开环传递函数为：其中T、K均大于零，且,则系统的闭环传递函数：)1()(TssksGKksTsksGsGsKK2)(1)()(特征方程式为：特征根为：02ksTsTTks24112,1因为特征方程根具有负实部，所以该闭环系统稳定。041Tk13第二节劳斯稳定判据判别系统是否稳定，就是要确定系统特征方程的根是否全部具有负的实部，或者说特征根是否全部位于[s]平面的虚轴左侧。有两种判别方法：解特征方程确定特征根，对于高阶系统来说是困难的；讨论根的分布，研究特征方程的根是否包含右根及有几个右根。（逆向思维）劳斯稳定判据是基于特征方程根的分布与系数间的关系来判别系统的稳定性。无需解特征方程而能迅速判定根的分布情况。这是一种简单而实用的稳定性判据。14设系统的特征方程式为：001-1-1asasasannnn则系统稳定的必要条件是：1.特征方程的各项系数均不为零。2.特征方程的各项系数符号一致。以上只是系统稳定的必要条件而非充要条件。,,,,01-1aaaann1.劳斯稳定判据的必要条件15特征方程系数的劳斯阵列：二．劳斯稳定判据的充要条件设系统的特征方程式为：0013-3-2-2--1-1asasasasasannnnnnnn10113213-3212-7-5-3--1-16-4-2-esdscccsbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnnS的偶次项(或奇次项)系数，且按S的降幂排列。S的奇次项(或偶次项)系数，且按S的降幂排列。根据上两列的数据计算得到。1613211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab17613nnnnnaaaaab121311bbaabcnn131512bbaabcnn141713bbaabcnn10113213-43212-7-5-3--1-16-4-2-esdscccsbbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn其它系数的计算：由上两行产生新的一行。可以得到一个（n+1）行的劳斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。每行计算到出现零元素为止。17劳斯稳定判据的充要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变的次数就是特征方程中所包含的右根数目。10113213-3212-7-5-3--1-16-4-2-esdscccsbbbsaaaasaaaasnnnnnnnnnnnn把an，an-1，b1，c1，…，d1，e1称为劳斯阵列中的第一列元素。18试用劳斯判据判别系统的稳定性。61717746)(234ssssssGB解：闭环系统的特征方程式为：0617177234ssss00612.14057.14614.120014.1257.14671757.14067016714.5771711770177617101234sssss－＝＝例6-1某一系统的闭环传递函数为：由于第一列所有元素都为正，因而系统稳定。特征方程式的系数均为正，进一步使用劳斯判据进行判断。19)2)(1()(sssKsGK例6-2单位负反馈控制系统的开环传递函数为：试确定K值的闭环稳定范围。解：该单位负反馈系统的闭环传递函数为：KsssKsGsGsXsYsKK23)(1)()()()(23＝02323Ksss特征方程式为：闭环系统要想稳定，首先特征方程式的系数均要为大于零的正数，即K0，然后进一步使用劳斯判据进行判断。20由稳定条件得：0360KK60K即：做题心得使用劳斯判据的时候，使用的一定是系统的闭环传递函数的特征方程。劳斯阵列为：363210123KsKsKss21例6-3设单位负反馈系统的开环传递函数为:若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问K值应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情况又如何？1613)(sssKsGK我们需要做的工作：1.开环→→闭环，列出其特征方程；2.实部小于－1：首先系统要稳定，即实部小于0，其次才是实部小于－1；3.列写劳斯阵列。22解：系统的闭环传递函数为：0)1018(3623Kuuu系统的特征方程式为：s3+9s2+18s+18K=0KsssKsGB1818918)(23①令u=s+1得如下u特征方程：由于要求特征方程式的系数均为大于零的正数，所以首先要求18K-100。进一步使用劳斯判据：230)818(6323Kuuu因为特征方程的系数的符号有正有负，所以由稳定条件知：不论K取何值，都不能使原特征方程的根的实部小于-2。91495010-1803914KKK解得：且即：②令u=s+2得如下u特征方程：10-18391410-186310123KuKuKuu劳斯阵列为：24例6-4已知某单位负反馈系统的开环传递函数分别是：试用劳斯判据分析k分别为6、15时系统的稳定性。从上述计算中，你能得出什么结论？)105.0)(105.0()()()2()15.0()()()1(23ssksHsGsksHsG25)1(81268)(23ksssksGB闭环传递函数为：0)1(812623ksss特征方程为：)1(803432)1(861210123kskskss劳斯阵列为：(1)解：010432kk＋且即：81k解得：时系统不稳定。时系统稳定，所以156kk由此可知，比例放大系数的取值范围对系统的稳定性有影响。260432k)1(05.005.0)05.0()(232ksssksGB闭环传递函数为：0)1(05.005.0)05.0(232ksss特征方程为：(2)解：kskskss1005.0105.005.005.001223劳斯阵列为：0101005.0kkk解得：－＋且即：故时不在(-1，0)范围内，这时系统不稳定。156kk和27三．劳斯判据的特殊情况例6-5设有特征方程为：试判断系统的稳定性。0122234ssss1.某行的第一列元素为零，而其余项不为零的情况如果在计算劳斯阵列的各元素值时，出现某行第一列元素为零，则在计算下一行的各元素值时将出现无穷大而无法继续进行计算。为克服这一困难，计算时可用无穷小正数来代替零元素，然后继续进行计算。281s22s10s022s111s01234－劳斯阵列：此时第三行第一列元素为零，用一无限小代替0，然后计算其余各项，得到劳斯阵列如上。解：0122234ssss01234ss0s022s111s观察第一列各项数值，当→0时，则:2229由于第一列有的元素为负值，且第一列的元素符号有两次变化，即特征方程在［s］平面的右半平面内有两个根，该闭环系统是不稳定系统。1s022s10s022s111s01234－302.某行全部元素值为零的情况这说明在系统的特征根中存在对称的根：①存在两个符号相异，绝对值相同的实根（系统自由响应发散，系统不稳定）；大小相等符号相反的实根-aaj031②存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）；④以上几种根的组合。对称于实轴的两对共轭复根-aaj0-jbjb共轭虚根j0-jaja③存在一对共轭纯虚根（系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，系统临界稳定）；32①在这种情况下，劳斯阵列表将在全为零的一行处中断；②为了写出下面各行，可将该行的上一行的各项组成“辅助方程式”；③辅助方程式中s的方次均为偶次降；④方程式对s求导，用求导得到的各项系数来代替为零的一行系数；⑤然后继续按照劳斯阵列表的列写方法，计算余下各行直至计算完（n+1）行为止。※这些大小相等、符号相反的特征根可由辅助方程得到。解决办法：330161620128223456ssssss例6-6设某一系统的特征方程式为：试