2.2.2--反证法

2.2.2反证法直接证明：(1)综合法——(2)分析法——由因导果执果索因1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？引例1：间接证明：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。反证法是一种常用的间接证明的方法。反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。其过程包括：反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。例1已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠xabxa根，因此方程至少有一个证：由于0至少存在两个根假设方程)0(0abax12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；正难则反!常见否定用语是－－－不是有－－－没有等－－－不等成立－－不成立都是－－不都是，即至少有一个不是都有－－不都有，即至少有一个没有都不是－部分或全部是，即至少有一个是唯一－－至少有两个至少有一个有（是）－－全部没有（不是）至少有一个不－－－－－全部都P例3：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径求证：AB、CD不能互相平分。ABCDO用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.例1证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC,DPOBAC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形所以CBDCADADBACB,因为ABCD为圆内接四边形所以180,180CBDCADADBACB因此90,90CADACB所以，对角线AB、CD均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例1由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二OP⊥AB，OP⊥CD，演练反馈2、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑点D在之内或之外两种情况。ABC(1)如果点D在之内，根据假设，ABCDABCBDCADBADC,,都为锐角三角形所以270BDCADBADC这与一个周角为360°矛盾。演练反馈2、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D在之外，根据假设，ABCADBCBCDBADADCABC,,,都是锐角三角形，即360ADCBCDABCBAD这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。总结提炼1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．①反设②归谬③结论2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?////2abababa求证：，，且，如果，和平面，已知直线例apb推理合情推理演绎推理（归纳、类比）（三段论）证明直接证明间接证明（分析法、综合法）（反证法）数学—公理化思想？是等差数列吗？为什么）数列（不是等比数列）求证：数列（项和，是它的前的等比数列，是公比为、设}{2}{1}{1nnnnSSnSqa2P26变式提升导学：3类题演练4~127P例1：用反证法证明：如果ab0，那么ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。例4求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。12122211221:若pp=2(q+q),证明:关于x的方程x+px+q=0与x+px+q=0中至少有一个有实根.2222:若a,b,c均为实数,且a=x-2y+,2b=y-2z+,c=z-2x+,36求证:a,b,c中至少有一个大于0.作业思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.-----那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个