中考数学二次函数压轴题

ABODCxy1．已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝32x2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，矩形OABC的对角线OB在x轴上，点C的坐标为(4，3)，将矩形OABC翻折，使点B与坐标原点O重合，点C落在点D处．（1）求点B和点D的坐标；（2）一条抛物线经过原点O，顶点为D，求该抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线OD段上是否存在点P，使得四边形POBD的面积最大？若存在，求出其最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝xk的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝10，tan∠AOC＝31，点B的坐标为（m，－2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．BAOQPxyC(4，3)AOBxyD5．如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－21，23），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，33），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．6．如图1，直线y＝43x－1与抛物线y＝－41x2交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求线段AB的长；（2）若以AB为直径的圆与直线x＝m有公共点，求m的取值范围；（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P，Q两点，过C，P，Q三点的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时n的值，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)、B(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7．（1）求抛物线的表达式；BAOxyCB′DCPyOxQ图2ACyOxB图1（2）若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(5，m)，求直线CE的表达式；（3）求△CBE的面积S的值；（4）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由．8．当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A、B．（1）求该抛物线的关系式；（2）若点M(x，y1)，N(x＋1，y2)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．9．如图，已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ACBO1E－1yxACBEDOFxy3ACxyBODE1．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示；抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－3)，且在x轴上截得的线段AB的长为6．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：①点P的坐标；②△PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．yxBA(0，2)C(-1，0)OyOxCNBPMAyxBAOC4．如图，已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，－2)，直线x＝m(m＞1)与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x＝m(m＞1)上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移距离为a(0＜a＜4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．6．阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝21ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S△CAB，若存在，求出P点的坐yxBAOCx＝mDAOCxMDByBC铅垂高水平宽ha图1AxCOyABD11图2标；若不存在，请说明理由.7．如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，①当2＜t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的165？8．在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．9．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点yxOCDBA1－4yxFAODBPCEQxNOyABPMmlxNOyABPMmlFPEF，试证明：FC(AC＋EC)为定值．