工程力学第9章(扭转)

工程力学EngineeringMechanics中南大学土木建筑学院力学系DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity第九章扭转§9-1引言两力偶作用面之间的各横截面绕轴线相对转动。杆件受到一对等值、反向、作用面与轴线垂直的力偶作用。扭转变形特点扭转受力特点相对扭转角§9-2外力偶矩与扭矩一、功率、转速与外力偶矩之间的关系1.外力偶矩与功率、角速度关系2.外力偶矩与功率、转速关系PM(kW)Nm9549(r/min)PMn（）(PS)Nm7024(r/min)PMn（）260n二、扭矩与扭矩图()0:xMF0TMTM扭矩正负规定由右手螺旋法则确定，扭矩矢量与截面外法线一致者为正；反之为负。1.扭矩T例：图示传动轴，主动轮B输入的功率PB=10kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW，PC=6kW，轴的转速n=500r/min，试作轴的扭矩图。2.扭矩图表示扭矩沿轴线方向变化的图形，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。解：⑴计算外力偶矩AA49549954976.4Nm500PMnBB1095499549191Nm500PMnCC695499549114.6Nm500PMn⑵计算轴各段的扭矩()0:xMF1A0TM解得：176.4NmT2C0TM2114.6NmT⑶绘制扭矩图解得：()0:xMF2-2：1-1：§9-3切应力互等定理与剪切胡克定律一、薄壁圆管的扭转应力1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力试验现象：微元体无轴向、横向正应变，但存在垂直于半径方向的切应变，且圆周上所有各点的切应变相同。所以圆周上各点在轴向、横向无正应力，在垂直于半径方向上有相同的切应力。222000d2TRR202TR由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布壁厚平均半径二、纯剪切与切应力互等定理2.纯剪切微元体的四个侧面上只存在切应力而无正应力。1.切应力互等定理在微元体的两个互相垂直的截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或背离该交线。()0:zMF(d)d(d)dyxxy三、剪切胡克定律当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。G2(1)EG材料的三个弹性常数（弹性模量、切变模量、泊松比）之间的数值关系：剪切比例极限G为切变模量§9-4圆轴扭转时横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式1.变形几何关系1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应力。2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截面上有切应力试验现象变形规律tanddxddxddad平面假设圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍为平面，且其形状、大小不变，半径仍为直线，两相邻截面间的距离不变。（圆轴扭转时各横截面像刚性平面一样绕轴线转动。）距轴线为处的切应变与成正比2.物理关系GddGxddxddx未知，与内力、材料、截面有关。P时：切应力分布规律图实心圆轴空心圆轴与成正比3.静力关系AdTA2PAdIAPddTxGIAdddGAx2AdddGAx令抗扭刚度：截面抵抗扭转变形的能力极惯性矩扭转切应力的一般公式PTIPddTxGIddGx二、最大扭转切应力PPPmaxIIWRmaxPTWmaxmaxPTI抗扭截面系数同一截面上最大切应力发生在周边各点处。仅适用于线弹性范围内的等直圆轴§9-5极惯性矩与抗扭截面系数的计算一、实心圆截面2PAdIA3PP162IdWd220(2d)d432d二、空心圆截面4444()(1)3232DdD34PP(1)162IDWD222(2d)Dd2PAdIAdD三、薄壁圆截面20AdRA2P02WR2PAdIA302R极惯性矩与面积对于点的分布有什么关系？相同面积的实心圆与空心圆哪个对于圆心的极惯性矩大？一、扭转失效与扭转极限应力1.塑性材料的扭转失效横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。断口材料呈片状，剪切破坏断口横截面，最大切应力引起剪切破坏低碳钢抗剪能力比抗拉能力差§9-6圆轴扭转破坏与强度条件2.脆性材料的扭转失效横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。断口45o的螺旋面，最大拉应力引起的脆性断裂断口材料呈颗粒状，脆性断裂破坏铸铁抗拉能力比抗剪能力差Un许用扭转切应力二、圆轴的扭转强度条件maxmaxP()TW三、圆轴合理截面与减缓应力集中1.设计轴截面宜将材料远离圆心，平均半径越大，壁厚越小，切应力分布越均匀，材料的利用率越高。2.设计时尽量减少截面尺寸的急剧改变，以减缓应力集中。对于等直圆轴：maxmaxPTW根据扭转强度条件可进行三类强度问题计算：强度校核截面设计许可载荷确定例：图示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A、B、C处承受扭力偶作用，已知MA=150N·m，MB=50N·m，MC=100N·m，许用切应力[τ]=90MPa。试校核轴的强度。解：AB与BC段的扭矩分别为AB150NmTBC100NmTABmaxAB34PAB1615080.8MPa0.0180.0241()0.024TWBCmaxBC34PBC1610086.7MPa0.0180.0221()0.022TW所以轴满足强度条件。AB与BC段进行强度校核例：某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN·m，若许用切应力[τ]=90MPa。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。⑴实心圆截面。⑵实心圆截面，其内外径的比值d/D=0.9。解：⑴计算实心轴直径max3P16TTWd333616161.51053.5mm5010Td⑵计算空心轴外径max34P16(1)TTWD33344616161.51076.3mm(1)(10.9)5010TD空心轴内径0.90.976.368.7mmdD⑶确定空心轴与实心轴的重量比22276.368.70.38553.5WW空心实心max34P016(1)TTWd空心轴比实心轴省材。§9-7圆轴扭转变形与刚度条件一、圆轴扭转变形1.相距dx的两截面间的相对扭转角PddTxGI2.相距l两截面的相对扭转角PdlTxGI3.扭矩、切变模量为常数的等直圆轴相距l的两截面的相对扭转角PTlGIPiiiTlGI阶梯轴：二、圆轴扭转刚度条件maxmaxmaxPd()()dTxGI单位扭转角（为相距单位长度1的两截面的相对扭转角）许可单位扭转角maxmaxmaxPd180180()()dTxGI（rad/m）/m根据扭转刚度条件可进行三类刚度问题计算：刚度校核截面设计许可载荷确定例：图示圆截面轴AC，承受扭力偶矩MA、MB、MC作用。已知MA=180N·m，MB=320N·m，MC=140N·m，IP=3.0×105mm4，l=2m，G=80GPa，[θ]=0.5o/m。试计算该轴的总扭转角φAC，并校核轴的刚度。解：⑴计算轴的总扭转角AB180NmTBC140NmT2ABAB9512P18021.5010rad80103.01010TlGI2BCBC9512P(140)21.1710rad80103.01010TlGI222ACABBC1.5010(1.1710)0.3310rad⑵校核轴的刚度omaxABmax9512PP1801800.43/m80103.01010TTGIGI所以轴的刚度满足要求。例：两端固定的等截面圆杆AB，在截面C受一扭转力偶矩M作用。已知杆的抗扭刚度为GIP，试求两端的约束力偶矩。解：以圆杆AB为研究对象，建立平衡方程0:xMAB0MMM由变形几何关系得变形协调方程ABACCB0ACACAACPPTlMaGIGI⑴由扭转胡克定律可得CBCBBCBPPTlMbGIGIABPP0MaMbGIGI由⑴⑵解得：AMbMabBMaMabACACAACPPTlMaGIGIABACCB0⑵例：传动轴转速n=300r/min，主动轮A输入的功率PA=36.7kW。从动轮B、C、D输出功率分别为PB=14.7kW，PC=PD=11kW。轴的材料为5号钢，G=80GPa，[τ]=40MPa，[θ]=2o/m。试选择BD的直径。解：⑴计算外力偶矩AA36.7954995491.168kNm300PMnBB14.7954995490.468kNm300PMnDCD11954995490.35kNm300PMMn⑶计算BD的直径按强度条件设计轴的直径⑵作扭矩图确定最大扭矩BA468NmTAC700NmTCD350NmTmax700NmTmaxmaxmax3P16TTWdmaxmaxmax3P16TTWd2max33616167004.4710m4010Td按刚度条件设计轴的直径maxmaxmax4P32TTGIGd2max44932327001804.0010m80102TdG所以BD的直径24.4710md按强度条件设计轴的直径§9-6圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转失效与扭转极限应力1.塑性材料的扭转失效2.脆性材料的扭转失效横截面上的最大切应力即扭转屈服应力为扭转极限应力。横截面上的最大切应力即扭转强度极限为扭转极限应力。Un许用扭转切应力