第八章分离变量法-数学物理方法

第八章分离变数法（傅立叶级数法）1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离变量的求解方法2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅立叶级数的求解方法3、非齐次边界条件的处理方法4、三维泊松方程的特解求解方法重点§8、1齐次方程的分离变数解法一、线性定解问题的叠加性质L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上标示出来非齐次方程L[u]=f(x,y,z,t)齐次方程L[u]=01.算符22222222220xatLxuatu220atLuatuLu02.性质L[u1]=0L[u2]=0则其组合0][2211ucucLu2是齐次方程的解L[u2]=0L[u1]=f1)分别是齐次方程的21,uu2)是非齐次方程的解1u21uu则是非齐次方程的解:fuuL][213）若L[u1]=f1,L[u2]=f2性质（3）对边界条件，初始条件常常用到。二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：1、两个变数方程的求解方法2121][ffuuL则)(),(0,0)0,0(00002xuxuuutlxuautttlxxxxtt1、设解的形式解的形式为u(x,y)=X(x)T(t)带入方程中，得出两个常微分方程：0)()(02xXxXTaTtt2、分离变量分离过程：,0)()()(2tTxXaTxXxxtt)()()()(2xXxXtTatTxxtt代入边界条件：,0|0xu,0|lxu3、本征值问题：本征值方程0||00lxxXXXX由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题0|0xX0|)(lxxX0)()(0)()0(tTlXtTX式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，，)sincos(21xcxceyx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中当x=0，l时002121llececcc021cc21)(cxcxXX=0,l时00212clcc021cc（1）、0解为xxececxX21)(无意义,则0不能无意义,则不能=0（2）、0解为（3）、0方程的解为x=0,l时0sincos0211lclcc0sin2lc则有02c则必有0sinlnl（n为正整数）xcxcxXsincos)(21所以222lnn=1,2,3……又因为02TaT0)()(2TlantTn0222ln0ntlanBtlanAtTnnsincos)(所以有特征解：nnAtxu[),(]sincoslatnBlatnnxlnsinn=1,2,3……4、通解：1),(ntxu]sincos[tlanBtlanAnnxlnsin5、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：)(|0xut)(|0xutt则有)0()(sin)(sin11lxxlxnlanBxlxnAnnnn把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：dlnlAlnsin)(20dlnanBlnsin)(206、物理意义：（1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解un是驻波波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点1),(ntxu]sincos[tlanBtlanAnnxlnsin（2）、un(x,t)特解称为本征振动模式它与初始条件无关。称固有振动模式（3）、节点数n+10sinl位置lnlnnlnlx,)1(,2,,0（4）、相邻节点之间距离等于半波长，即nl2波长（5）、本征频率lnavlannn22,（6）、基波，谐波n=1时,1la基频基波（决定了音调）1n时lann谐波谐波（决定了音色）（4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）7、分离变量法概要：（1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。解：杆上温度),(txu满足下列方程，定解条件)0)(/(022lxckauauxxt边界条件：0|0xu0|lxxu初始条件：)0(/|00lxlxuut（1）设解),(txu=x(x)T(t)0)(,0)0(0'lxxxx(2)分离变数：0'2TaT(3)、求解本征值问题：（1）、0解为X(x)=xxecec21002121llececcc021cc（2）、0解为21)(cxcxXX=0,l时0012cc021cc无意义，则不能=0（3）、0方程的解为x=0,l时0cossin0211lclcc0cos2lc则有02c则必有0cosl)21(kL（k=0,1,2……）xCxCxXsincos)(21xlkcxX)21(sin)(2k=0,1,2……2'aT0)21(2TlkT（t）=Atlake2222)21()()(),(tTxxtxukkk=xlkAk)21(sintlake2222)21(故有：..)2,1,0()21(222klk本征解（4）、通解中常数确定),(txu),(txuk=0kxlkAk)21(sintlake2222)21(0|tulxu0=0kxlkAk)21(sinlklA02lxu0xlk)21(sin=（-1）220)21(2kluk202),(luyxu0k(-1)2)21(1kkxlk)21(sintlake2222)21(分离变量法也适用于Laplace方程例2解若λ0，例3带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱“无限远“处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场。+++++++++++________解如图选择坐标系，电荷具有面对称性,形成的电场也具有面对称性.在圆柱外,电势满足Laplace方程.yx)0(02u设导体上的电势为0,有下列边界条件:+++++++++++________yx0au定解问题为:)0(cos0002Euuua1)形式解)()(),(Ru2)代入方程分离变量01122222uuuu)(1ddRddR0)()2(02RRR)0()0()0(sincos)(BeAeBABA3)求解本征值问题得本征值和本征函数:...3,2,1,02mm)0()0(coscos)(mAmmBmA0222RmddRdRd径向方程为:te0222RmdtRd解为)0(ln)0()(mDCDtCmDCDeCeRmmmtmt3)通解为)]sincos()sincos([ln),(100mDmCmBmADCummmmmmm4)代入边界条件确定系数0au)1(0)]sincos()sincos([ln100mDmCamBmAaaDCmmmmmmmcosEu)]sincos()sincos([ln100mDmCmBmADCmmmmmmm)2(0,)1(0101BEAmBAmm由(1)和(2)得:)1(0)1(0,201mDmCaECmm代入给出符合题意的解:)0(coscosln),(2000aEEaDu说明该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的定解问题，对于齐次方程非齐次边界条件不适合。泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数,0|0xu,0|lxu,02xxttuau或,02xxtuau（0xl,t0）0||00lxxxxxx222lkk=1,2,3…xlk)21(sink=0,1,2……xlksink=1,2……,0|0xu,0|lxxu0||0'0lxxxxxx2)2)12((lkk=0,1,2,3,0|0xxu,0|lxu0||00'lxxxxxx2)2)12((lkk=0,1,2,3xlk)21(cosk=0,1,2……,0|0xxu,0|lxxu0||0'0'lxxxxxx222lkk=0,1,2,3…xlkcosk=1,2……§8、2非齐次振动方程和输送方程基本思路：对于定解问题：一、傅立叶级数法)(|),(|0|,0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式lxnxXsin)()()(),(0tTxXtxunnn（3）、构成满足边界条件、给出需待定)(tTn的级数解：lxntTtTxXtxunnnnnsin)()()(),(10（4）、将级数解带入偏微分方程中，且将展为同样级数形式f(x,t)、)(),(xxlxntftxfnnsin)(),(11sin)(nnlxnx1sin)(nnlxnx1n[lxntTnsin)(]sin)()(22lxntTlnan=1nlxntfnsin)(dxlxnxlln0sin)(2dxlxnxlln0sin)(1其中代入方程(5)、整理方程给出)(tTn满足的常微分方程)(tTn)()(22tTlnan=)(tfn（6）、将初始条件代入方程中，得到)(tTn的初始条件，构成关于)(tTn的本征值问题：nnnnnnTTtftTlnatT)0(',)0()()()()(22（7）、解出关于)(tTn的常微分方程，得到)(tTn形式（8）、代入u(x,y)=1n)()(tTxXnn中，得关于u(x,y)的解例1求解定解问题：（以一维弦振动为例）tlxAuauxxttsincos20|0xxu0|lxxu（注意齐次边界条件）)(|0xut)0)((|0lxxutt解：（1）设解为0),(ntxu)()(xXtTnn二、应