自习教室开放的优化管理——井冈山大学数学建模竞赛

井冈山大学2010年“井冈杯”数学建模竞赛论文题目：A题自习教室开放的优化管理参赛队员班级：信息08本（1）姓名：黄礼斌班级：08数本（1）班姓名：钟文班级：08数本（1）班姓名：罗隆琪1摘要本文在合理的假设之下，针对三个问题建立了合适的模型。在求解方面，我们充分利用计算机模拟顺利求得结果。对于各个问题，既能达到省电的目的，又能使同学们的满意程度在合理范围内。问题一：针对其要求，要使用电量达到最省，并且又要更好的满足同学们的需要。我们把用电量最省作为目标函数，其它条件（如上自习的学生人数、同学的满足程度、教室满座率）作为约束条件建立了一个0-1规划模型，并利用VisualC++6.0模拟蚁群算法，逐步搜索最优解，最终得到了应该开放36个教室的最佳方案。问题二：对于如何安排教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意度的问题，先考虑到学生的满意度与教室的满座率和宿舍区到自习区这两个因素有关，我们运用模糊数学建立满意度函数，最后再运用最优规划模型，并用MATLAB进行计算得到开放39个教室为5,4434,33230,6,1142,110,32，，，，，，既能达到省电的目的又能提高学生的满意程度使得满意度达到0.9717.问题三：我们先假设开放全部教室，很显然，不能满足要求，所以我们先计算出了还所需的座位数，从而得出了至少要再建二个以上的教室的结果。然后，利用灰局势决策，严格按照步骤要求，得到了在第二区、第五区和第七区各建立一个教室的方案。在分析所得结果的基础上，我们指出了这几个模型的优缺点。通过以上几个方案，以及提出的关于如何合理利用学校教室资源的方法，能够有效加强学校教室资源管理使节约资源的做法有了科学依据与科学方法。关键字非线性规划、蚁群算法、最优解、模糊数学、灰决策2一、问题重述近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室内的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。某学校收集的部分数据（相关数据见附录1附表一），请完成以下问题。管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7：00---10：00开放（如果哪个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。现在有以下问题：1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的.2．假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…，41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度.表2学生区(标号为A)到自习区(标号为B)的距离(单位:米)（注：见附录2）二、模型的假设与符号说明2.1模型的基本假设1.假设同学们上自习的概率不受天气影响，即概率不变；2.假设该校在晚上没有安排任何课程，即晚上由学生自由活动；3.因为每天开放的时间是相同的，所以把时间假设为一个整体1；4.问题一中同学们的满足程度与到自习室的距离无关；即同学们会自动的找到符合要求的教室；5.问题二中假设每个宿舍区住有相同数量的同学，即每个宿舍区住有8000/10=800名同学；6.每个宿舍区的同学都是理想化同一个概率；7.在问题二和问题三中，为了满足题中给出的尽量安排开放同区的教室这一条件，假设10个学生区的学生至多只会去两个区且是等量的；8.假设距离与座位数对满意度的影响一样；9.问题三中学生选择老教室和临时教室上自习是等可能的，即不存在对临时教室的厌恶情况，也不存在对老教室的排斥情况。32.2符号的声明id表示第i个教室)452,1(i；iE表示第i个教室的灯管数量)452,1(i；iP表示相应教室的灯管的功率)452,1(iiS表示去相应教室上自习的学生人数；iZ表示相应教室的座位数；E表示总用电量；jE表示第j个区的总用电量)92,1(j；H表示总人数；ijB表示第i个宿舍区到第j个自习区的满意度)92,11021(ij；，；a表示事件；jb表示相应的分区)92,1(j；i表示在相应的区域的教室开放与不开放1,0i)452,1(i；ijx表示第i区的学生是否到第j区的自习室上自习1,0ijx)92,11021(ij；，；jC表示第j区的座位数)92,1(j；三、建模前的准备在第二问中，模糊综合评价模型基本步骤：（1）确定评价指标；（2）求每一个指标的评语的隶属度，得到模糊评价矩阵nmijpP)(；（3）给出指标的权重iW，A),,,(21，其中121n；（4）用权重乘以模糊评价矩阵得到综合模糊评价向量b，APb.在问题三,我们引入了灰局势决策论,下面就灰局势决策论的相关内容描述如下:灰局势决策的要素:称事件、对策、样本为灰局势决策的四要素；变称局势、目标、样本为灰局势决策的三要素。1效果测试算式：令为事件jiba,为对策，有局势ijs。设局势ijs,,jiijbasmJjnIi,,2,1,,,2,1在p目标下的效果样本为piju，lPp,,2,1.称U为p目标下的效果样本矩阵pnmpnpnpmpppmppuuuuuuuuu112222111211U令effM为变换，piju为p目标下局势ijs的效果样本，pijr为piju在effM下的像当其满足41、pijr具有正极性；2、1,0pijr,称effM为效果测试变换，或效果变换，称pijr为局势pijs在目标p下的效果测度。当piju为正极性时，称effM为上限效果测度变换；piju为负极性时，称effM为下限效果测度变换；piju为中极性时，称effM为适中效果测度变换。2极大值目标变换算式（上限效果测度算式）令effM为效果变换，piju为正极性效果样本，pijr为piju在effM下的像，则极大值目标下的效果变换算式为pijjipijpijeffuuuMmaxmax，pijjipijpijuurmaxmax3极小目标变换算式（下效果测度算式）令effM为效果变换，piju为极性负果样本，pijr为piju在effM下的像，则极大值目标下的效果变换算式为pijpijjipijeffuuuMminmin，pijpijjipijuurminmin4令effM为效果变换，piju为中性效果样本，pijr为piju在effM下的像，则极大值目标下的效果变换算式为pijpijpijeffuuuuuM,max,min00，pijpijpijuuuur,max,min005统一测度令pijr为局势pijs在目标p下的效果测度，当lp,,2,1则称ijr为ijs的统一效果测度，或统一测度，即lppijijrlr11令iS及ir分别为事件ia的局面与统一测度空间，若有ijjijrrmax，jiijijbasr,则ijs称为ia的满意局势，jb为ia的满意对策。5四、问题的分析4.1问题一的分析题中要求在满足同学们的需求的同时达到用电量最省，自然而然把我们引到了规划问题上。考虑到众多的数据，难以求解。我们需要在以下几个约束条件下建立模型：第一，上自习的人数方面，我们要满足两个条件，第一个是每个同学去上自习的概率为0.7，第二个则是同学满足程序不能低于95%，有如下约束：4517.08000%95.708000iiiz第二，要求被开放的教室的满座率不能低于4/5，同时不超过90%，即有以下约束：iiiZSZ10954运用0-1规划建立最优化模型，再引入了现代智能算法中的蚁群算法，面向对象编程。从而很好地求得结果。4.2问题二的分析在现实生活中，对我们每个人而言，我们肯定会选择靠近宿舍的教室上自习，如果靠近的教室得不到满足，我们选择较远教室时同时满意程度就相应下降，距离越远，则越不满意，在确定学生只是自习区距离对满意度的影响时，可以用模糊分布函数来描述。结合实际情况，所选择的目标模糊分布函数应满足以下要求：1、在300—400米，满意度接近为1；2、函数是单调递减的；3、当距离增加时，函数应该趋近为0.而第二问中，不仅只有自习区距离影响满意度，还有教室的满座率会影响。若只考虑教室的满座率即总共的座位数对满意度的影响，结合实际情况，所选择的目标模糊分布函数应满足以下要求：1、由第一题所说，开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%时，满间程度就不低于95%。在第二题中如果一个区的学生去一个自习区，若要使满意度为95%，则座位数不低于约600，不超过700，即当一个自习区的的座位数达到600—700时，满意度为95%；2、函数是单调递增的；3、当座位数增加时，函数应该趋近为1.给出函数并画出曲线图，以区间为单位，分别给了相应的满意度。结合距离与座位数分别的满意度，对附表1和附表2进行分析，分别写出所有学生区到所有自习区距离和距离的满意度，利用模糊综合评价模型，分为10个模糊评价矩阵，得到10个学生区综合模糊评价向量，再由假设和题中所给的信息应用0-1规划模型得到最大满意度函数，进而安排教室。对于在适当的位置搭建教室既达到节约用电的目的又能提高学生的满意程度的问题，我们首先考虑根据临近期末每个同学上自习的可能性增大为85.0且要使需要上自习的同学的满足程度不低于%99，然后通过计算得到应该搭建几个教室。然后我们要进一步地确定要在哪些自习区搭建教室，我们考虑运用会决策模型去确定，根据用电量应该是越低越好我们对用电量进行了下限效果处理，然而满意度是越高越好因此我们对满意度进行了上限效果处理，最后进行统一测度最终确定在哪些自习区搭建教室。五、模型的建立与求解65.1模型一的建立与求解然后，我们再来分析我们的目标，我们要使用电量最少，即要使用电量E达到最小，于是，有：iiiP451iNEi451451Z54%957.08000,7.08000.iiiiiiiSZZts问题一，我们应用了VisualC++6.0采用面向对象编程，模拟蚁群算法（相关程序及结果见附录），得出了在最省电的情况下，应该开放3,4,5，6，7，8，9，10，11，12，13,14,17,18，19，20,22,23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39,40和43，总共36个教室，共计5927个座位。同时，我们计算出了最少用电量，因为每开放三个小时，所以，每天的最少用电量是E=74.525*3=223.575kw时。5.2模型二的建立与求解1、只考虑自习区距离对满意度根据问题二的分析，综合目标模糊分布函数要求，同