08-圆

主讲：蓝豆圆中小学数学精品视频课程xuetong.com圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com圆的概念和表示方法第一种：由描述圆的形成过程进行定义的.如图所示，在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫做圆.固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径.以点𝑂为圆心的圆，记作“⊙𝑂”，读作“圆𝑂”.【知识点】圆的概念和表示方法rOAOA中小学数学精品视频课程xuetong.com圆的概念和表示方法第二种：由圆的特性进行定义的.将圆心为𝑂，半径为𝑟的圆看成是所有到定点𝑂的距离等于定长𝑟的点的集合.【知识点】圆的概念和表示方法rOA圆具有如下特性：（1）圆上各点到定点（圆心𝑂）的距离都等于定长（半径𝑟）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝛥𝐴𝐵𝐶1,𝛥𝐴𝐵𝐶2,𝛥𝐴𝐵𝐶3,⋯,𝛥𝐴𝐵𝐶𝑛是一组以𝐴𝐵为斜边的直角三角形，试判断点𝐶1,𝐶2,𝐶3,⋯,𝐶𝑛是否在以𝐴𝐵为直径的同一圆上？若在，请证明；若不在，请说明理由.【答案】在同一个圆上圆的概念和表示方法ABC1C2C3CnDABC1C2C3Cn中小学数学精品视频课程xuetong.com弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的𝐴𝐵,𝐶𝐷.经过圆心的弦叫做直径，如图中的𝐴𝐵.直径是圆中最长的弦.【知识点】圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com弧（优弧、劣弧、半圆）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧是曲线.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的𝐴𝐶,𝐶𝐷,𝐵𝐷；大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中的𝐶𝐴𝐷,𝐴𝐵𝐷.【知识点】圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反之，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.【知识点】圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com【特别提醒】（1）直径是弦，但弦不一定是直径.（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.（3）一个圆有无数条直径和半径.【知识点】圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，点𝐴,𝐷,𝐺,𝑀在半圆𝑂上，四边形𝐴𝐵𝑂𝐶、𝐷𝐸𝑂𝐹、𝐻𝑀𝑁𝑂均为矩形，设𝐵𝐶=𝑎,𝐸𝐹=𝑏,𝑁𝐻=𝑐，则下列各式中正确的是（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑎=𝑏=𝑐C.𝑐𝑎𝑏D.𝑏𝑐𝑎【答案】B圆的概念和表示方法中小学数学精品视频课程xuetong.com垂直于弦的直径中小学数学精品视频课程xuetong.com圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形【知识点】垂直于弦的直径提示：不能说“圆的对称轴是直径”，因为直径是线段，对称轴应为直线.中小学数学精品视频课程xuetong.com垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧【知识点】垂直于弦的直径EODABC条件：（1）𝐶𝐷是⊙𝑂的直径，𝐴𝐵是弦（2）𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸为垂足结论：（3）𝐴𝐸=𝐵𝐸（4）𝐴𝐷=𝐵𝐷（5）𝐴𝐶=𝐵𝐶中小学数学精品视频课程xuetong.com垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知识点】垂直于弦的直径EODABC条件：（1）𝐶𝐷过圆心𝑂（2）𝐶𝐷平分非直径的弦𝐴𝐵于点𝐸结论：（3）𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点𝐸（4）𝐴𝐶=𝐵𝐶（5）𝐴𝐷=𝐵𝐷中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，两个圆都以点𝑂为圆心，求证：𝐴𝐶=𝐵𝐷.垂直于弦的直径DCOBA𝐸中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，⊙𝑂的直径𝐴𝐵和弦𝐶𝐷相交于点𝐸，𝐴𝐸=6𝑐𝑚,𝐸𝐵=2𝑐𝑚,∠𝐵𝐸𝐷=30°，求𝐶𝐷的长.【答案】215垂直于弦的直径EOBACD𝐹中小学数学精品视频课程xuetong.com弧、弦、圆心角中小学数学精品视频课程xuetong.com圆心角我们把顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中∠𝐴𝑂𝐵、∠𝐵𝑂𝐶.【知识点】弧、弦、圆心角OBADC中小学数学精品视频课程xuetong.com弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.如图所示，在⊙𝑂中，若∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝑂𝐷，则有𝐴𝐵=𝐶𝐷,𝐴𝐵=𝐶𝐷.【知识点】弧、弦、圆心角OBADC提示：（1）圆心角的特征：顶点在圆心.（2）在应用弧、弦、圆心角之间关系解决问题时，可根据需要选取有关部分，如“在同圆或等圆中”这一前提条件，否则结论不一定成立.（3）在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.弦心距：圆心到弦的距离.中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝐴𝐵为⊙𝑂的弦，点𝐶,𝐷为弦𝐴𝐵上两点，且𝑂𝐶=𝑂𝐷，延长𝑂𝐶,𝑂𝐷分别交⊙𝑂于点𝐸,𝐹，试证明𝐴𝐸=𝐵𝐹.弧、弦、圆心角DCOBAFE中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知：在⊙𝑂中，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，则弦𝐴𝐵与𝐶𝐷的关系是（）.A.𝐴𝐵=2𝐶𝐷B.𝐴𝐵2𝐶𝐷C.𝐴𝐵2𝐶𝐷D.无法确定【答案】C弧、弦、圆心角BOCDA𝐸中小学数学精品视频课程xuetong.com圆周角中小学数学精品视频课程xuetong.com圆周角我们把像下图中∠𝐴𝐶𝐵,∠𝐶𝐴𝐷这样的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.【知识点】圆周角OBACD中小学数学精品视频课程xuetong.com圆周角必须具备两个特性第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交.同一条弧所对的圆周角有无数个【知识点】圆周角中小学数学精品视频课程xuetong.com圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.如图所示，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=12∠𝐴𝑂𝐵.【知识点】圆周角OBDCA中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A.30°或60°B.60°C.150°D.30°或150°【答案】D圆周角OBCAD中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐵𝐶=𝐵𝐷，若∠𝐵𝑂𝐷=65°，求∠𝐴的度数.【答案】32.5°圆周角OBACD中小学数学精品视频课程xuetong.com圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径.如图所示，𝐴𝐵为直径，∠𝐶=∠𝐷=∠𝐸=90°.【知识点】圆周角OBACDE拓展如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.中小学数学精品视频课程xuetong.com圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.【知识点】圆周角OCDBA中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】已知：如图所示，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐷是圆上任意一点（不与𝐴,𝐵重合），连接𝐵𝐷并延长到点𝐶，使𝐵𝐷=𝐷𝐶，连接𝐴𝐶，试判断𝛥𝐴𝐵𝐶的形状.【答案】等腰三角形圆周角ODCAB中小学数学精品视频课程xuetong.comPracticemakesperfect!基础知识提前学熟能生巧！中小学数学精品视频课程xuetong.com