2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合2230Axxx，22Bxx，则AB=（）（A）2,1（B）1,2（C）1,1（D）1,2【答案】A【解析】∵223013Axxxxxx或，22Bxx，∴21ABxx，故选A．（2）【2014年全国Ⅰ，理2，5分】321i1i（）（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i【答案】D【解析】∵32(1i)2i(1i)1i(1i)2i，故选D．（3）【2014年全国Ⅰ，理3，5分】设函数fx，gx的定义域为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是（）（A）()()fxgx是偶函数（B）()()fxgx是奇函数（C）()|()|fxgx是奇函数（D）|()()|fxgx是奇函数【答案】C【解析】∵fx是奇函数，gx是偶函数，∴()fx为偶函数，()gx为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得()|()|fxgx为奇函数，故选C．（4）【2014年全国Ⅰ，理4，5分】已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）（A）3（B）3（C）3m（D）3m【答案】A【解析】由C：223(0)xmymm，得22133xym，233,33cmcm，设33,0Fm，一条渐近线33yxm，即0xmy，则点F到C的一条渐近线的距离3331mdm，故选A．（5）【2014年全国Ⅰ，理5，5分】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）（A）18（B）38（C）58（D）78【答案】D【解析】由题知13,0F，23,0F且220012xy，所以1200003,3,MFMFxyxy2220003310xyy，解得03333y，故选D．（6）【2014年全国Ⅰ，理6，5分】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则()yfx在0,上的图像大致为（）2（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】如图：过M作MDOP于D，则sinPMx，cosOMx,在RtOMP中，cossin1cossinsin212xxOMPMMDxxxOP，∴1sin2(0)2fxxx，故选B．（7）【2014年全国Ⅰ，理7，5分】执行下图的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M（）（A）203（B）165（C）72（D）158【答案】D【解析】输入1,2,3abk；1n时：1331,2,222Mab；2n时：28382,,3323Mab；3n时：3315815,,28838Mab；4n时：输出158M，故选D．（8）【2014年全国Ⅰ，理8，5分】设(0,)2，(0,)2，且1sintancos，则（）（A）32（B）22（C）32（D）22【答案】B【解析】∵sin1sintancoscos，∴sincoscoscossin，sincossin2，,02222，∴2，即22，故选B．（9）【2014年全国Ⅰ，理9，5分】不等式组124xyxy的解集记为D．有下面四个命题：1p：(,),22xyDxy，2p：(,),22xyDxy,3P：(,),23xyDxy，4p：(,),21xyDxy．其中真命题是（）（A）2p，3p（B）1p，4p（C）1p，2p（D）1p，3p【答案】C【解析】作出可行域如图：设2xyz，即122zyx，当直线过2,1A时，min220z，∴0z，∴命题1p、2p真命题，故选C．（10）【2014年全国Ⅰ，理10，5分】已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则||QF（）（A）72（B）52（C）3（D）2【答案】C【解析】过Q作QMl于M，∵4FPFQ，∴34PQPF，又344QMPQPF，∴3QM，由抛物线定义知3QFQM，故选C．（11）【2014年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数3231fxaxx，若()fx存在唯一的零点0x，且00x，则3a的取值范围为（）（A）2,（B）,2（C）1,（D）,1【答案】B【解析】解法一：由已知0a，2()36fxaxx，令()0fx，得0x或2xa，当0a时，22,0,()0;0,,()0;,,()0xfxxfxxfxaa；且(0)10f，()fx有小于零的零点，不符合题意．当0a时，22,,()0;,0,()0;0,,()0xfxxfxxfxaa要使()fx有唯一的零点0x且00x，只需2()0fa，即24a，2a，故选B．解法二：由已知0a，3231fxaxx有唯一的正零点，等价于3113axx有唯一的正零根，令1tx，则问题又等价于33att有唯一的正零根，即ya与33ytt有唯一的交点且交点在在y轴右侧记3()3fttt，2()33ftt，由()0ft，1t，,1,()0;1,1,()0;tfttft，1,,()0tft，要使33att有唯一的正零根，只需(1)2af，故选B．（12）【2014年全国Ⅰ，理12，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（A）62（B）42（C）6（D）4【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥DABC，其中4,42,25ABBCACDBDC，24246DA，故最长的棱的长度为6DA，故选C．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年全国Ⅰ，理13，5分】8()()xyxy的展开式中22xy的系数为．（用数字填写答案）【答案】20【解析】8()xy展开式的通项为818(0,1,,8)rrrrTCxyr，∴777888TCxyxy，626267828TCxyxy，∴8()()xyxy的展开式中27xy的项为7262782820xxyyxyxy，故系数为20．（14）【2014年全国Ⅰ，理14，5分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．【答案】A【解析】由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．（15）【2014年全国Ⅰ，理15，5分】已知A，B，C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为．【答案】090【解析】∵1()2AOABAC，∴O为线段BC中点，故BC为O的直径，∴090BAC，∴AB与AC的夹角为090．4（16）【2014年全国Ⅰ，理16，5分】已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，2a，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为．【答案】3【解析】由2a且(2)(sinsin)()sinbABcbC，即()(sinsin)()sinabABcbC，由及正弦定理得：()()()ababcbc，∴222bcabc，故2221cos22bcaAbc，∴060A，∴224bcbc，224bcbcbc，∴1sin32ABCSbcA．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年全国Ⅰ，理17，12分】已知数列na的前n项和为nS，11a，0na，11nnnaaS，其中为常数．（1）证明：2nnaa；（2）是否存在，使得na为等差数列？并说明理由．解：（1）由题设11nnnaaS，1211nnnaaS，两式相减121nnnnaaaa，由于0na，所以2nnaa．……6分（2）由题设11a，1211aaS，可得211a，由（1）知31a假设na为等差数列，则123,,aaa成等差数列，∴1322aaa，解得4；证明4时，na为等差数列：由24nnaa知：数列奇数项构成的数列21ma是首项为1，公差为4的等差数列2143mam，令21,nm则12nm，∴21nan(21)nm数列偶数项构成的数列2ma是首项为3，公差为4的等差数列241mam，令2,nm则2nm，∴21nan(2)nm，∴21nan（*nN），12nnaa因此，存在存在4，使得na为等差数列．……12分（18）【2014年全国Ⅰ，理18，12分】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s．（i）利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：15012.2．若2(,)ZN，则()0.6826PZ，(22)PZ=0.9544．解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s．……6分（2）（ⅰ）由（1）知(200,150)ZN，从而(187.8212.2)PZ(20012.220012.2)0.6826PZ．……9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)XB，所以1000.682668.