热传导问题

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：-1-非均匀介质等效热传导系数的均匀化计算摘要本问题是一个利用已知某些小块物体的热导率（常数）来计算由这些小块物体组成的（各处热传导系数不同的）非均匀物体的（以常数表示的）等效热传导率。我们主要是利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。问题一,将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用两个小正方体紧挨在一起的面为例计算。利用傅里叶定律，推倒得出热传导效率与温度差、传导系数和正方体大小的关系。利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。最终得到结果:由两个小方块组成的长方体的等效热传导系数212112kkkkM问题二，将N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N形式），求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。本问题与问题一本质上是相同的，也是利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。最终得到结果:由n个小方块组成的长方体的等效热传导系数是：nkkkknknkM......21212问题三，2N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N形式），求所得长方体等效热传导系数。此时我们可以设定把2N个小正方体分别依次两两紧挨在一起并列放置成1*N形式的长方体（与问题二相同），传热稳定后再将这两个长方体排列在一起，成为一个2*N形式的大长方体。我们还是选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。问题三的计算方法与问题而相似，同样是利用利用放置完成前后的热传导效率相同列等式计算。得到：2*N形式的大长方体的热传导系数：3231323132MMMMM关键词热传导傅里叶定律-2-一问题复述物体或系统内各点间的温度差存在是产生热传导的必要条件，由热传导方式引起的传热速率（称为导热速率）决定于物体内温度的分布情况。热传导的机理较复杂，1822年，法国数学家Fourier对导热数据和实践经验的提炼，将导热规律总结为傅立叶定律。即通过等温面的导热速率与温度梯度及传热面积成正比,导热系数通常由实验测定，它表征物质导热能力的大小。一个实际问题是，如果已知实验测得某些小块物体的热导率（为常数），如何计算由这些小块物体组成的（各处热传导系数不同的）非均匀物体的（以常数表示的）等效热传导率。抽象出的数学建模问题如下：如果已知N个大小相同而热传导系数不同的小正方体，每个小正方体的导热系数分别为常数k1,k2,…,kN,请就以下问题讨论并建立数学模型：将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，请合理给出所得长方体的等效热传导系数（可以任意两个相对的表面之间的计算为例）。将N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N形式），请建立模型合理给出所得长方体等效热传导系数计算方法（可以任意两个相对的表面之间的计算为例），并给出算例结果。2N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N形式），请建立模型给出所得长方体的等效热传导系数的计算结果（可以任意两个相对的表面之间的计算为例）。并讨论一般的强烈非均匀介质物体的等效热传导系数的计算方法二问题的分析1，问题一,将任意两个小正方体的两个面紧挨在一起并列放置，求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用两个小正方体紧挨在一起的面为例计算。2，问题二，将N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（1*N形式），求所得长方体等效热传导系数。那么我们可以选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。3，问题三，2N小正方体依次两两紧挨在一起并列放置（2*N形式），求所得长方体等效热传导系数。此时我们可以设定把2N个小正方体分别依次两两紧挨在一起并列放置成1*N形式的长方体（与问题二相同），传热稳定后再将这两个长方体排列在一起，成为一个2*N形式的大长方体。我们还是选用小正方体紧挨在一起的面为例计算。三模型假设1，假设两个小正方体除接触面外其他边缘处的热损忽略。-3-2，假设是一维稳定导热，即小方块的温度变化仅沿垂直于接触面的水平方向变化。3，假设小方块间的热传导都是稳定的。4，假设小方块面与面之间接触良好，即接触的两表面温度相同。5，假设小方块都是一个一个依次放置的。四符号说明s表示小方块的各个面的面积t温度q表示导热速率b表示小方块的边长t表示温度差1M两个小正方体连在一起时的热导系数2M表示N个小正方体连在一起时的热导系数3M表示2N个小正方体连在一起时的热导系数31M表示第三问中N1个小正方体连在一起时的热导系数32M表示第三问中NN21个小正方体连在一起时的热导系数五建立数学模型图一2t如右图一所示（竖直方向为y轴，表示时间t；水平方向为x轴，表示平壁的厚度即小正方体的边长），是一个稳定的一维平壁热传导，已知小方块的材质均匀，热导系数为k（常数），两壁面的温度分别为1t和2t，且21tt，即小方块内的温度仅沿垂直于壁面的x方向变化。由傅里叶定律得：dxdtksq（这里的‘-’热量是由温度高的地方传向温度低的地方）xy1t2t-4-由此得到微分方程：ksqdxdtxt是一个直线关系，所以边界条件是:21,;,0ttbxttx进行积分得到：21ttsbkq整理得到傅里叶定律的推导式：ksbtq（21ttt，温度差）5.1问题一双层平壁的热传导问题图二如右图二所示，是一个双层平壁热传导。各层的壁厚都是小正方体的边长b，热导系数为1k和2k，温度分别是32,1,ttt和4t。在稳定导热时，通过各层的导热速率必相3t等。即:21qqq所以：bskttbskttq232121由上式得到:skbqttt1211；skbqttt2322整理得到：skbskbttq2121现在将这两个小正方体看做一个厚度为d2的长方体，壁面面积是s，所以根据傅里叶定律的推导式sMbtq132此处的21133tttttxx1ty2t3t-5-所以可以得到：长方体的等效热传导系数212112kkkkM5.2问题二多层平壁的热传导问题问题二与问题一的求解方法是相同的，不过此时小方块数量增加到了N个，仍旧是与问题一相同的排列方式，各层的壁厚都是小正方体的边长b，，热导系数为1k，2k…nk温度分别是32,1,ttt…nt。小方块是一个一个一次放置的。在稳定导热时，通过各层的导热速率必相等。即nqqqq...21所以bskttbskttbskttqnnn1232121...由上式得到:skbqttt1211；skbqttt2322…skbqtttnnnn11整理得到：skbskbskbtttqnn......21121现在将这n个小正方体看做一个厚度为nd的长方体，壁面面积是s，所以根据傅里叶定律的推导式得到:sMbtqn2此处1211...nnntttttt-6-所以可以得到：长方体的等效热传导系数nkkkknknkM......21212所以长方体的等效热传导系数的计算方法是，只要知道每一部分的热传导系数，代入上式既可以得到等效热传导系数。5.3问题三5.3.1在本问题中，我们可以认为这N2个小方块是按如下方式放置的：将N1个小正方体连在一起成为一个1*N形式的长方体A，再将NN21个小正方体连在一起也形成一个1*N形式的长方体B，等长方体A与B传热稳定后，再将A与B放置在一起，形成一个2*N形式的大长方体。根据问题二中算出的结果，我们可以得到：长方体A的热传导系数NNkkkkkNkM.......212113长方体B的热传导系数NNNNNNkkkkkNkM22122132......最后将长方体A与B放置在一起，可以得到最终要求的2*N形式的大长方体的热传导系数：3231323132MMMMM5.3.2一般的强烈非均匀介质物体的等效热传导系数的计算方法:将这个物体按介质的不同划分成小段，按小段分析计算，最后再合起来计算，这样就可以建立等价关系，利用物体中每种介质的传导系数表示物体总的传导系数。六模型的求解七模型的评价八模型的改进-7-九参考文献参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号]作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号]作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：[编号]作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。十附录