立体图形思维培优

1立体图形思维训练教学目标立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。★★★正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得：正方体的表面积：26Sa正方形正方体的体积：3Va正方形★★★长方体：若长方体的长、宽、高分别为,,abc，那么可得：长方体的表面积：2Sabbcac长方形（）长方体的体积：Vabc长方形★★★圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；圆柱体的表面积：2222Srhr圆柱侧面积个底面积圆柱体的体积：2Vrh圆柱★★★圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r；圆锥体的侧面展开图是一个扇形；圆锥体的体积：213Vrh圆锥体★★★球体：343Vr球体在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。想挑战吗？如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否正好装了一半水而争吵．请你设计一种方案，不用其他任何工具与设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半．r2教师版答案提示：如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱A处，水平面的另一端刚好在棱B处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装的水就不是一半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一半，图③小于一半．一·立体图形的表面积1·边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？2·有两个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有有一个圆柱体的零件，高l0厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形直孔，如图，圆孔直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米?(3.14)3·右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？4·用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米?（3）5·如图1是一个直三棱柱的表面展开图，其中，灰色和黑色的部分都是边长等于1的正方形．问：这个直三棱柱的体积是多少?分析：如图2，这个直三棱柱是棱长为1的正方体沿一条对角线切割得到的直三棱柱体．正方体的体积是1，这个直三棱柱的体积是正方体体积的一半，体积是12．36·一个正方体的表面积为54平方厘米，如果一刀把它切成两个长方体，那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？7·如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是多少厘米？8·一个正方体形状的木块，棱长为1米，沿着水平方向将它锯成3片，每片又按任意尺寸锯成4条，每条又按任意尺寸锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.问这60块长方体表面积的和是多少平方米？9·将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？10·右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？11·右图是由27块小正方体构成的3×3×3的正方体。如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的。这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？4二·立体图形的体积1·如图，一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次?分析：圆锥形容器甲的容积是：2111()13212V，半球形容器乙的容积是：3222183312V，所以至少要注水8次．2·一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的柱形容器中，水面高多少厘米7．3·如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的827，水面高度是容器高度的几分之几？4·皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。皮球有45的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？分析：皮球的体积是：334415()562.5332r（立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：4562.54505（立方厘米）；水桶的底面积是：260()9002（平方厘米）；水面升高的高度是：4509000.5（厘米）。5·一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?6·有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中。钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米。这段钢材有多长?分析：根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面就是水桶底面积的161。根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍。5（法1）：6÷(520)2=96(厘米)（法2）：3.14×202×6÷(3.14×52)=96(厘米)7·一个立体图形，我们从上到下，从前往后，从左到右观察都是相同的图形，是一个边长为3厘米分成9个面积相等的小正方形形成的井字形(如右图)．计算该立体的全表面积和体积．分析：根据三视图，可以判定立体是一个棱长为3厘米的正方体，在每个面都在中央打一个底面积为1平方厘米的正方形，高为3厘米．的正棱柱孔洞．如右下图．设该立体的全表面积为S，体积为V则：222(31)6(14)672S(平方厘米)，2337120V(立方厘米)．8·在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．9·如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．分析：外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-×22×2=536-8内侧表面积为：16×4×3+2×(4×4-×22)+2×2×2×3=192+32-8+24=224+16．总表面积=224+16+536-8=760+8=785.12(平方厘米)．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24．所求几何体体积为：1O×1O×1O-(256+24)=668.64(立方厘米)．[点评]能把这道题拿下，所有不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。一定要注意：思路要清晰，比如表面积从外面和内部去讨论，体积直接是整体减挖去部分。细节决定成败：第一点，求表面积时，内部中心的正方形减去内切圆剩下部分容易忽略；第二点，本题大正方体的棱长是10厘米，是一个很伤脑筋的数字，直接导致出现了多处的3。呵呵，很多人在此被弄得灰头土脸。610·如图1，ABCD是直角梯形(单位：厘米，3)，（1）以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少?（2）如果以CD为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?11·现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?分析：法1：（1）如右图，在40×20的长方形铁皮的四角截去边长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的：长=40-5-5=30(厘米)，宽=20-5-5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=30×10×5=1500(立方厘米)．（2）如右图，在40×20长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40—5=35(厘米)，宽=20—5—5=10(厘米)，高=5(厘米)，体积=35×10×5=1750(立方厘米)．（3）如右图，在40×20的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长=40-5-5-5-5=20(厘米)，宽=20(厘米)，高=5(厘米)，体积=20×20×5=2000(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．法2：你要想使容积最大，就要充分利用手中的铁皮，如果能将铁皮都用上那么就能得到一个最大的铁盒。如下图（1），我们从原铁皮上切割下4块5×20的长方体，如图（2），将其焊接上能做成一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么此时的容积最大：20×20×5=2000(立方厘米)．7三·专题展望1·用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？2·把棱长6分米的正方体木块平均分成27个小正方体，表面积增加了多少平方分米?3·有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。4·一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．5·有一个棱长是12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔（穿透正方体木块）．穿孔后木块的体积是多少立方厘米？6·如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?