现代控制理论控制系统状态空间模型

现代控制理论第一章控制系统的状态空间模型§1-1状态及状态空间表达式§1-2由微分方程求状态空间表达式§1-3由传递函数求状态空间表达式§1-4状态方程的线性变换§1-1.状态及状空间表达式在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态及状态空间1.状态：什么叫系统的状态呢？定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。注意：﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0时系统的输入u(t)，则系统在t≥t0时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。例：RC网络如下图所示，试选择系统的状态变量u(t)RC2C1C3i1i2i3在t=t0时，若已知uc1(t0),uc2(t0),uc3(t0)和u(t),则可求得输出y(t),(t≥t0)故可选uc1(t),uc2(t),uc3(t)作为状态变量。但因uc1+uc2+uc3=0显然他们是线性相关的，因此，最小变量组的个数应是二。一般的：状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数=系统的阶数﹡状态变量是具有非唯一性的：如上例中，最小变量组是2个独立变量，可在uc1,uc2,uc3中任选2个，选法不唯一。3.状态空间：定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量121()()()()nnxtxtxtxt又表示为：x(t)∈Rn[x(t)属于n维状态空间]4.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。3x1x2x10x20x30x0t1t2t3t二.状态空间表达式它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。1.建立方法：例1-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧-质量-阻尼器系统解：列基本方程：22dydymfkyutdtdt选择状态变量：取：()()1xtyt()()2xtyt故得：()2121kfxtxxummm()1ytx)()(21txtx将以上方程组写矩阵形式11220101xxxukfxxmmm()1210xytx即CxyBuAxx系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法1.首先根据基本规则列基本方程；2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。2.一般形式：对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1u2urx1x2xny1y2ym111111nnnrnnrmrmnmnrX(t)AX(t)Bu(t)Y(t)CX(t)Du(t)其中：Ann系统矩阵阶常数矩阵(Bnr控制矩阵输入矩阵),阶常数矩阵.C-输出矩阵m×n阶常数矩阵D-直连矩阵m×r阶常数矩阵1()ruutu控制矢量;1myymy维输出矢量状态矢量)(tx3.一般线性时变系统：()()()()()()()()()()XtAtXtBtutYtCtXtDtut区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)4.非线性定常系统:()()()()()()XtfXtutYtgXtut()(),(),()(),(),xtfxtuttytgxtutt6.线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:∑=(A,B,C,D)——定常∑=(A(t),B(t),C(t),D(t))——时变5.非线性时变系统：三.线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：XAXBuYCXDu按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。A(t)D(t)C(t)B(t)∫dt++++XXY(t)u(t)结构图：在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入－单输出系统111121122122221122()()()()xtaaxbutxtaaxbxytccxa11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x21x2xy由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。下面举例说明：例：试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式，并画出其结构图。MRauaLaiaUf=constEaJ:电动机轴上的转动惯量f:负载的阻尼摩擦性质解：由基本规律列写原始方程：aedECdt电路方程：22maddCiJfdtdtaaaaediduRiLCdtdt选状态变量:123,,axixx11aeaaaaaRcxiiuLLL131aeaaaRCxxuLLL23xx313mmaCCfdfxixxJJdtJJ故得状态方程：12310001000aeaaamRCLLLxXxuCxfJJ而输出方程为：123010xYxx最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图aRLdtaCLdtmCJdt1aLfJ11+++u(t)1x2x3xx1x2x3++Y(t)小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：即u(t)状态方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t)xAxBu2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂，其形式是一致的。§1-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式：这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。T-FD-ES-E传递函数微分方程状态空间表达式一.输入项中不含有导数项：假设单输入单输出线性系统的微分方程为：D-ES-ExAxbuYCxDu：状态空间表达式为：1(0),(0),(0).nnnyyy阶系统要设个状态变量，并且已知以及输入u,就能惟一确定状态，故按状态变量的定义，可直接按已知初始条件选状态变量--称为相变量buyayayaynnnn1)1(1)(12211nnnnxyxyxyxy令122311111121nnnnnnnnnnxxxxxxxyayayaybuaxaxaxbu=-111010000010nnnxxXuxaaab即100YX其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元皆为零。D=0无直联通道，111010000010nnnxxXuxaaab即100YXD-E.61166S-Eyyyyu例：1236,11,6,6aaab解：直接按能控标准写出：32101001000001001,0061166100,0AbaaabCD1122331230100001061166100xxxxuxxxyxxS-E：二.输入项中包含有导数项：111011D-Ennnnnnnyayaybubububu,若按相变量法选状态则出现解的不唯一性121nnxyxyxy122311210111nnnnnnnnxxxxxaxaxaxbubububu+S-E!u可见最后一个方程中含有的导数项以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法：方法二：首先引入中间变量z，令：11(),(),nututuu若则()(1)11nnnnuzazazaz1111011()(1)101()0()()()nnnnnnnnnnnnnnnyayayaybzbzbzabzbzbzabzbz代入方程得+++:比较两边可得输出为若选状态变量为121nnxzxzxzzbzbzbzbynnnn1)1(1)(0S-Euxaxaxauzazazazxxxxxxxnnnnnnnnnn12111)1(1)(132211122110100011nnnnxxxxuxxaaa:而输出方程为1010112112110111021100101101100()())()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnybzbzbzbaxaxaxubxbxbxbabxbabxbabxbuxbabbabbabbuxCxDu=+=(==这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。111,0nnnxybbbDx0,0,:b但在实际系统中一般输入的阶次低于输出的阶次,即故输出方程可简化为例将以下高阶微分方程：试用方法二写出其状态空间表达式。解：按方法二可得：uuuyyyy324321321321113100421100010xxxyuxxxxxx§1.3