第6章-微分方程系统求解的伪谱方法-(1)

航空航天中的计算方法授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院第二部分边值问题求解方法第6章微分方程求解的伪谱法航空航天中的计算方法Page42020/5/12内容提要6.1谱方法及伪谱法的概念6.2谱方法与Lagrange插值6.3正交多项式6.4最优配点分布6.5微分矩阵与两点边值问题求解[1]JohnP.Boyd,ChebyshevandFourierSpectralMethods(SecondEdition),DOVERPublications,Inc.,2000.Chap.1,3-6[2]Shen,J.,andTang,T.,SpectralandHigh-OrderMethodswithApplications（谱方法和高精度算法及其应用）,SciencePress,Beijing,2006,Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.航空航天中的计算方法Page52020/5/126.1谱方法及伪谱法的概念以N+1个全局基函数的加权和近似某一连续函数：其中：为多项式或三角函数。残差函数：例，二阶微分方程求解残差为某种准则下使残差最小，确定系数。6.1谱方法及伪谱法的概念xx0()()()Nkkkyyx()kx()ikxkxeFourier谱方法xxxxx()()(,(),())Ryfyyx01(;,,,)NRxxxx()(,(),())yfyy谱方法航空航天中的计算方法Page62020/5/12在与未知量个数相对的特定点处令残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。12()0,1,2,,iNRiNabxx()()0,1,2,,,biawRdxiN()iwx为权函数()()iiwxx采用最佳配点的谱方法，即伪谱法。6.1谱方法及伪谱法的概念航空航天中的计算方法Page72020/5/12谱方法、有限单元法、有限差分法的区别：有限单元法将区间分成一些子区间，在子区间选择局部多项式基函数有限差分是局部计算谱方法应用具有高阶次的全局基函数在整个计算域上6.1谱方法及伪谱法的概念航空航天中的计算方法Page82020/5/12伪谱方法精度高、收敛快、存贮省，适用于问题的几何特征平滑和规则时伪谱法的问题：如何选择最优的基函数？如何选择最优的配点？6.1谱方法及伪谱法的概念航空航天中的计算方法Page92020/5/126.2谱方法与Lagrange插值6.2.1Lagrange插值对函数f(x)，根据N+1个插值点的函数值，构造N次插值多项式近似：其中，插值基函数：任意N次多项式Lagrange插值形式6.2谱方法与Lagrange插值x0()()()NNiiiPfxCx0,()NkikkiikxxCxxx()ijijCxx0()()()NNNiiiPPxCxx0()()NNiiiPx等价()()NiiPxfx航空航天中的计算方法Page102020/5/126.2.2Runge现象对任意光滑函数f(x)，根据均匀分布的N+1个插值点的函数值，构造N次Lagrange插值近似，误差随N增大趋于0？例：21(),5,51fxxx两端点附近的误差大端点附近插值点增多，中间可减少插值点随均匀分布时，误差随点数增多不收敛6.2谱方法与Lagrange插值航空航天中的计算方法Page112020/5/126.3正交多项式6.3.1函数正交性与正交多项式函数f(x)与g(x)在加权Sobolev空间上正交，是指其中为上的正值权函数。正交多项式序列是指一系列的多项式，满足可规范化为x的n次首一多项式：6.3正交多项式,:,()()()0bafgfgxfxgxdxx()1()10()nnnnnnpxaxa()x2(,)Lab(,)ab0()nnpx()npx,0ijppforij航空航天中的计算方法Page122020/5/12任意n次多项式q(x)均可表示为正交多项式的线性加权和：若多项式序列是正交的，则多项式与任何不高于n次的多项式正交。若多项式序列是正交的，则多项式的零点是互不相同的实数，且位于开区间内。6.3正交多项式0()nnpxx1100()nnnnqbpbpbp01,,,nppp1()npx0()nnpx1()npx(,)ab航空航天中的计算方法Page132020/5/126.3.2正交多项式的生成根据正交多项式的定义（首一情况为例）当，时，得到Legendre多项式当，时，得到Chebyshev多项式6.3正交多项式1010,()()bbaappxxdxxdx0()1px11()pxx1111()()()(),1nnnnnpxxpxpxn()1x122()(1)xx()nTx()nLx(,)(1,1)ab(,)(1,1)ab航空航天中的计算方法Page142020/5/12Legendre多项式：Chebyshev多项式：6.3正交多项式20121131()1,(),()22(1)()(21)()(),1nnnLxLxxLxxnLxnxLxnLxn()nTx()nLx201211()1,(),()21()2()(),1nnnTxTxxTxxTxxTxTxn航空航天中的计算方法Page152020/5/126.3正交多项式()nTx()nLx正交多项式曲线图：航空航天中的计算方法Page162020/5/126.4最佳配点分布6.4.1Gauss求积与Lagrange插值将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：若适当选取和，可使公式对次数≤2N+1的多项式被积函数均精确成立，节点称为高斯点。等价于将函数f用Lagrange插值近似为插值多项式，然后求积分。若选用Gauss点插值，能实现最高精度。6.4最佳配点分布110()()Niiifxdxfxiix(0,1,,)ixiN最佳配点（插值点）为Gauss点航空航天中的计算方法Page172020/5/126.4.2几类Gauss点Gauss求积点对于带权函数的Gauss求积：其中Gauss点为正交多项式的零点。由方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布0()()()Nbiiaifxxdxfx(0,1,,)iiNixGauss点不包括两端点a和b，求解边值问题使用不便1np0()()(),0NbkikiaipxxdxpxkN210()()(),NbiiNaiqxxdxqxforallqP航空航天中的计算方法Page182020/5/12Gauss-Radau求积点定义：若采用，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Radau求积点。由方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布(0,1,,)iiN0xaGauss-Radau求积点包括端点a0()()(),0NbkikiaipxxdxpxkN1()()()()0NNqxpxpxqa12,,,Nxxx()()qxxa20()()(),NbiiNaiqxxdxqxforallqP航空航天中的计算方法Page192020/5/12Gauss-Lobatto求积点定义：则采用，，以及多项式的零点作为求积点，称为Gauss-Lobatto求积点。由方程组：可唯一解出，并且6.4最佳配点分布(0,1,,)iiN0xaGauss-Lobatto求积点包括端点a和b，适用于两点边值问题0()()(),0NbkikiaipxxdxpxkN11()()()()()()0,NNNqxpxpxpxqaqb121,,,Nxxx()(()())qxxaxb210()()(),NbiiNaiqxxdxqxforallqPNxb航空航天中的计算方法Page202020/5/126.4.3常用正交多项式的Gauss点Chebyshev多项式的Gauss点Chebyshev-Gauss-Lobatto：6.4最佳配点分布(,)(1,1)ab122()(1)xx001,1,cos(11),(11)2NiNiixxxiNNiNNN航空航天中的计算方法Page212020/5/12Legendre多项式的Gauss点Legendre-Gauss-Lobatto：6.4最佳配点分布(,)(1,1)ab()1x021,1,()(11)21(0)(1)[()]NiNiNixxxzerosofLxiNiNNNLxLegendre-Gauss-Lobatto点没有显式表达式，需数值求解航空航天中的计算方法Page222020/5/12Legendre-Gauss-Lobatto：6.4最佳配点分布航空航天中的计算方法Page232020/5/126.5微分矩阵与两点边值问题求解6.5.1微分矩阵的概念伪谱法将微分方程近似解用Lagrange插值表示：采用Gauss点为配点（插值点），在配点处满足微分方程：需计算近似解的各阶导数在配点处的值是配点未知量的线性函数。6.5微分矩阵与两点边值问题求解x0()()()NiiiyyxCx0,()NkikkiikxxCxxxxxxxx()()(,(),())0,0,1,,iiiiiRyfyyiNxx(),(),iiyy()(1,2,,)iyxiNx0()()()NjiijiyyxCxx0()()()NjiijiyyxCx航空航天中的计算方法Page242020/5/121阶微分矩阵：2阶微分矩阵：6.5微分矩阵与两点边值问题求解xxxxxx00111()()()()()()NNyyyyDyyxxxxxx00112()()()()()()NNyyyyDyy可通过插值公式微分求解航空航天中的计算方法Page252020/5/126.5.2常用伪谱法的微分矩阵Chebyshev伪谱法的微分矩阵当采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点时。一阶微分矩阵各元素的显示表达为：高阶微分矩阵与一阶微分矩阵的关系：6.5微分矩阵与两点边值问题求解1kjD112(1),,0,2(1)kjkkjjkjkkkkcDjkcxxxDkNx1120002(1)6,1,0,2NNkNDDNckNcc1mmDD航空航天中的计算方法Page262020/5/12Legendre伪谱法的微分矩阵当采用Legendre-Gauss-Lobatto插值点时。一阶微分矩阵各元素的显示表达为：6.5微分矩阵与两点边值问题求解1kjD111100()1,()0,0,(1)4NkkjNjkjkkNNLxDjkLxxxDkNDDNN航空航天中的计算方法Page272020/5/126.5.3伪谱法求解两点边值问题以二阶系统为例，考虑边值问题：将问题的解用Lagrange插值近似表示为：采用Chebyshev-（或Legendre-）Gauss-Lobatto插值点，在配点处满足的残差代数方程：6.5微分矩阵与两点边值问题求解xxxxxabab()(,(),()),,(),()yfyyyAyBx0()()()NiiiyyxCx0,()NkikkiikxxCxxxxxxx()(,(),())0,0,1,,iiiiyfyyiN航空航天中的计算方法Pa