2020届高三广州一模理科数学试题及参考答案

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01,},{|2,}RRMxxxNxxx，则（）A．MNMB．MNNC．MNMD．RMN2．若复数z满足方程220z，则3z（）A．22B．22C．22iD．22i3．若直线10kxy与圆222410xyxy有公共点，则实数k的取值范围是（）A．[3,)B．(,3]C．(0,)D．(,)4．已知:12px，:23qx，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设函数1()2cos23fxx，若对任意Rx都有12()()()fxfxfx≤≤成立，则12xx的最小值为（）A．2B．C．2D．46．已知直三棱柱111ABCABC的体积为V，若,PQ分别在11,AACC上，且1111,33APAACQCC，则四棱锥BAPQC的体积为（）A．16VB．29VC．13VD．79VABCC1B1A1PQ7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（）A．514B．914C．37D．478．已知直线:2lyx与x轴的交点为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，直线l与抛物线C交于,AB两点，则AB的中点到抛物线C的准线的距离为（）A．8B．6C．5D．49．等差数列{}na的前n项和为nS，已知1251,43aaa，若48()NnnSan≥，则n的最小值为（）A．8B．9C．10D．1110．已知点00(,)Pxy是曲线32:1Cyxx上的点，曲线C在点P处的切线方程与直线811yx平行，则（）A．02xB．043xC．02x或043xD．02x或043x11．已知O为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，点P是双曲线C上位于第一象限上的点，过点2F作12FPF的平分线的垂线，垂足为A，若122bFFOA，则双曲线C的离心率为（）A．54B．43C．53D．212．已知函数221,0()1,0xxxfxxxx≥，若()()sin(2020)1Fxfxx在区间[1,1]上有m个零点123,,,,mxxxx，则123()()()()mfxfxfxfx（）A．4042B．4041C．4040D．4039二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为．14．在251(1)axxx的展开式中，3x的系数是15，则实数a．15．已知单位向量1e与2e的夹角为3，若向量122ee与122eke的夹角为56，则实数k的值为．16．记数列{}na的前n项和为nS，已知1cossin()22nnaannnnN，且20191009mS，10am，则119am的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc．已知3c，且满足sin3sinsinsinabCaAbBcC．（1）求角C的大小；（2）求2ba的最大值．18．（本小题满分12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数x5x≤520x20x≥人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望()EY．19．（本小题满分12分）如图1，在边长为2的等边ABC△中，,DE分别为边,ACAB的中点．将AED△沿DE折起，使得ABAD，ACAE，得到如图2的四棱锥ABCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．（1）求证：AH平面BCDE；（2）求二面角BAED的余弦值．ABCDEECHBDA图1图220．（本小题满分12分）已知M过点(3,0)A，且与22:(3)16Nxy内切，设M的圆心M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l不经过点(2,0)B且与曲线C相交于,PQ两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为12，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数321()(4)6,()1ln3xfxxexxgxaxx．（1）求函数()fx在(0,)上的单调区间；（2）用max{,}mn表示,mn中的最大值，()fx为()fx的导函数．设函数()max{(),()}hxfxgx，若()0hx≥在区间(0,)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：11111ln3()12313Nnnnnnn．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为312xtyt（t为参数），曲线2C的参数方程为3cos3tanxy（为参数且3,22）．（1）求曲线1C和2C的普通方程；（2）若,AB分别为曲线12,CC上的动点，求AB的最小值．23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()36,Rfxxxaa．（1）当1a时，解不等式()3fx；（2）若不等式()114fxx对任意34,2x成立，求实数a的取值范围．2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学参考答案1．答案：A解析：{|01,},{|2,}{|22,},MxxxNxxxxxxMNRRR，MNM．2．答案：D解析：223320,2,2i,(2i)22izzzz．3．答案：D解析：圆的标准方程为22(1)(2)4xy，圆心为(1,2)C，半径2r，直线10kxy过定点(0,1)P，因为2CPr，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k的取值范围是(,)．4．答案：B解析：由12x，得12x或12x，解得3x或1x，因为{|23}{|3xxxx或1}x，所以p是q的必要不充分条件．5．答案：C解析：由题可知1x是函数()fx的最小值点，2x是函数()fx的最大值点．所以12xx的最小值为函数()fx半个周期，14,22TT．6．答案：B解析：设底面正三角形的边长为a，直三棱柱的高为h，则234Vah，所以211332332189BAPQCVahaahV．7．答案：C解析：从10位同学中选取5人，共有510252C种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有2111112122332233223672108CCCCCCCC种不同的选法，则所求概率为10832527．8．答案：A解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F，所以4p，将2yx代入28yx，得21240xx，设1122(,),(,)AxyBxy，AB中点00(,)Mxy，则1212xx，12062xxx，则点M到准线2x的距离为6(2)8．9．答案：CABCC1B1A1PQ解析：设等差数列{}na的公差为d，则251225543aaadd，解得23d．所以112(1)21(1)333nnnaand，21()123nnnaaSn，由48nnSa≥，化简得：28200nn≥，(2)(10)0nn≥，10n≥，即n的最小值为10．10．答案：B解析：令2328yxx，得23280xx，(34)(2)0xx，解得43x或2x，当2x时，5y，此时(2,5)M在直线811yx上，故舍去，所以43x．11．答案：C解析：延长2FA交1PF于点B，因为PA是12FPF的平分线且2PAFB，可得2PBPF，且2ABAF，所以OA是12FBF△的中位线，所以1112111222OABFPFPBPFPFa，又由122bFFOA，可得22bca，所以22(22)bca，2222448cacaac，所以223850caca，23850ee，(35)(1)0ee，53e．12．答案：B解析：()1fxxxx，所以()()sin(2020)1sin(2020)Fxfxxxxxx为奇函数，所以10miix，显然(1)(0)(1)0FFF，当01x≤≤时，由2()sin(2020)0Fxxxx，得2sin(2020)xxx，在同一坐标系中作出2(01)yxxx≤和sin(2020)(01)yxx≤的图象，sin(2020)yx的最小正周期11010T，在每个区间112100910100,,,,,10101010101010101010内各有2个零点，所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()Fx在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()Fx在[1,0)内也有2020个零点，又(0)0F，所以4041m，所以40411231()()()()(1)4041mifxfxfxfxxxx．BAF2F1OP13．答案：33，3（第1个空2分，第二个空3分）解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r，高3h，母线长2l，体积21333Vrh，表面积23Srrl．14．答案：5解析：25252511(1)(1)(1)axxaxxxxx，而25(1)x的展开式中含2x的项为42425(1)5Cxx，含4x的项为322345()(1)10Cxx，所以251(1)axxx的展开式中，3x的系数是51015a，解得5a．15．答案：10解析：不妨取1213(1,0),,22ee，设122(2,3)aee，12322,22kbekek，则223432cos,237224kkabababkk，两边平方