“探究三角形内角和及其应用”教学片断实录

“探究三角形内角和及其应用”教学片断实录在教学中，借助几何画板，试图以一种更严格的方式完成“探究三角形内角和及其应用”这部分的教学内容，并且不拘泥于教材，根据实际情况进行了适当拓展。在这里笔者选取了上课的部分实录，以就教于广大同仁。片断一：任意三角形的内角和师：同学们，上一节我们学习了三角形的三边关系，请大家回忆我们在小学学过三角形的内角和是多少呢，你能够通过某种方式对你的结论进行说明吗？生1：我按照教材中的方法折叠得到三个内角可拼成一个平角，所以三角形的内角和为180°，如图1所示。生2：我是把三角形的三个内角用剪刀剪下，然后再拼可拼成一个平角。生3：老师，我没有剪刀，我用量角器测量三角形的三个内角的度数，三角形的三个内角的度数不等于180°，但是很接近180°，这是为什么呢？师：你的想法很好，测量是最基本的方法之一，只是测量过程中有误差，请同学们想一想有没有更精确的测量工具。生4：老师可以用上学期学过的几何画板测量三角形的三个内角的度数，然后再计算三角形的三个内角的和。师：由于条件的限制，我只能让几个小组中的同学代表到计算机前探索。学生操作结果如图2所示。生：（拖动A点，实现三角形任意变化）在拖动鼠标的过程中，三角形的各个内角任意变化，但是它们的和不变。师：按照生1的方法，仅仅是研究了某一种三角形的内角和，由此得到的三角形内角和结论能不能推广到普遍的情况呢？学生对教师的提问展开了讨论，最后达成共识，认为从特殊的三角形得出的结论不能简单地进行推广，并且认为生4用几何画板，由于在拖动A点的过程中，涵盖了所有的三角形内角度数，计算结果仍然是180°，由此可以说所有三角形内角和是180°。师：其实，生４所用的是我们数学中的一种方法――穷举法。也就是把所有的可能情况都考虑到了，最后得出结论。学生们的情绪高涨，此时我因势利导，在上面问题的基础上又提出了问题二。片断二：四边形内角和及其证明师：你们已探索出三角形的内角和是180°，那么请大家猜猜四边形呢？学生开始讨论，并且有的学生提出，还可以用几何画板仿照三角形的方法来做。该学生分别拖动C点，实现了四边形内角的部分变化，但是观察到内角和为360°不发生变化。学生根据前面三角形的经验，认为这样也可以严格地推广这一结论了。师：大家仔细观察，在C点被拖动的时候，是不是这个四边形的任何角度都在变化？生：（少数学生说）没有，角A度数没有变。师：所以，当拖动C点时候，我们并没有穷举出所有的四边形，而是找到了一类四边形，能够就由此说上述结论是普遍结论吗？学生沉默，似乎在反思自己的思考过程，又似乎在品味教师的话，偶尔有几个学生交头接耳议论。有一个学生试探地说：可以用别的方法吗？师：欢迎大家突破已有的思维方式。生1：我和同桌讨论过，可以连接AC（或BD）后，可将四边形变为两个三角形的问题，如图4所示。师：很好，非常好！你非常巧妙地把四边形的问题转化为三角形的问题，充分利用已经掌握的知识解决问题。这个学生的发言引起了全班学生的讨论，随后又有其他学生提出了自己的解决方法。例如：生2：如图5在AB上取一点E，可将四边形变为三个三角形减去一个平角。生3：如图6在四边形ABCD内取一点，可将四边形变为四个三角形减去一个周角。生4：如图7在四边形ABCD外取一点，可将四边形变为四个三角形的问题，可将四边形变为两个三角形的问题。生5：如图8延长DC与AB相交于点E，点E在四边形ABCD外，可变成两个平角与一个三角形的内角和再减去一个三角形的内角和，要比图7的方法简单。师：同学们很有创意。下面我们用几何画板来验证一种想法（验证过程略）。片断三：多边形研究师：我们已经轻松地研究了三角形和四边形的内角和问题，那么表1你能不能填写上呢？生1：用几何画板4.06可以吗？生2：我认为完全可以不用。……师：我只能让一组同学用几何画板，其他组就不能用了，建议你们开动脑筋，充分用你们的智慧来填写表格。学生分组学习，一个小组的学生用“几何画板”完成表格，其他学生进行讨论，有的画出多边形进行测量，有的用上述研究四边形内角和的方法充分利用已经掌握的三角形、四边形内角和知识研究其他多边形的内角和，还有的在评论别人的结果……学生完成表格之后，引导他们观察规律，最后得出任意多边形的内角和公式。如表2所示。片断四：三角形的外角和与多边形的外角和师：内角的问题我们已经基本解决了，大家是不是愿意再研究一下外角呢？建议大家可以在课外时间对外角问题进行深入研究，并且展示你的研究结果。课后学生利用几何画板研究了外角，下面是一个学生在课堂上汇报研究结果时候的操作步骤：(1)在几何画板中画三角形ABC；(2)分别度量出∠DAC、∠FCB、∠EBC的度数；(3)计算∠DAC+∠FCB+∠EBC的值；(4)拖动三角形ABC的一个顶点A，发现外角和总是360°，保持不变。如图9所示。(5)用同样方法可度量出四边形、五边形等多边形的外角和。完成表3。注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文