【全效学习】2016版中考数学-专题提升十五-巧用旋转进行证明与计算复习课件

专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算【教材母题】已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．(浙教版九上P110第5题)解：(1)如答图所示；(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．图Z15－1教材母题答图【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．【中考变形】1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4图Z15－2D2．如图Z15－3，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝()图Z15－3BA．1∶2B．1∶2C.3∶2D．1∶3【解析】如答图，连结AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，中考变形2答图BP＝BP′，∠ABP＝∠CBP′，AB＝BC，∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.又∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.连结PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.故选B.3．如图Z15－4，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于点F，BD分别交CE，AE于点G，H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系，并说明理由．图Z15－4解：猜想AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.4．如图Z15－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．(1)求n的值；(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．解：(1)∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴CD＝CA，∴△ACD是等腰三角形．图Z15－5∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴n＝60；(2)四边形ACFD是菱形．理由如下：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝CD＝AD，∠ADC＝60°.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°，∴∠DCB＝∠B，∴CD＝DB，∴CD＝DB＝AD＝12AB.∴△DEC为直角三角形，DE＝AB.∵F是DE的中点，∴CF是直角三角形DEC斜边上的中线，∴CF＝12DE，∴AC＝CF＝DF＝AD，∴四边形ACFD是菱形．5．[2015·南充]如图Z15－6，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．图Z15－6解：(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AB，∵∠PAD＋∠PAB＝90°，∴∠P′AB＋∠PAB＝90°，即∠PAP′＝90°，∴△APP′是等腰直角三角形；(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1，∴PP′＝2，∵P′B＝PD＝10，PB＝22，∴P′B2＝PP′2＋PB2，∴∠P′PB＝90°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°，∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°；(3)作BE⊥AQ，垂足为E，∵∠BPQ＝45°，PB＝22，∴PE＝BE＝2，∴AE＝2＋1＝3，∴AB＝AE2＋BE2＝13，∵∠EBQ＝∠EAB，cos∠EAB＝AEAB＝313，∴cos∠EBQ＝BEBQ＝313，∴2BQ＝313，∴BQ＝2313，∴CQ＝13－2313＝133.【中考预测】在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图Z15－7，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.图Z15－7(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．解：(1)AD与CF还相等．理由：∵四边形ODEF，四边形ABCO为正方形，∴∠DOF＝∠COA＝90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF＝∠AOD，∴△COF≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF；中考预测答图(2)如答图，连结DF交EO于G，∵四边形ODEF是正方形，∴DG⊥GO，DG＝GO＝12EO＝12DE2＋DO2＝1，∴GA＝GO＋OA＝1＋3＝4，∴在Rt△DGA中，AD＝DG2＋GA2＝12＋42＝17，∴CF＝AD＝17.