三角形中的范围问题

试卷第1页，总24页2016-2017学年度???学校10月月考卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（题型注释）1．（2016高考新课标3理数）在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD．由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAABACADAD，故选C．考点：余弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．2．（2016年高考四川理数）在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC,DADB=DBDC=DCDA=-2，动点P，M满足AP=1，PM=MC，则2BM的最大值是（）（A）434（B）494（C）37634（D）372334【答案】B【解析】试题分析：甴已知易得1220,DAADCADBDDBDCBC．以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，则2,0,1,3,1,3.ABC设,,Pxy由已知1AP，得2221xy，又13133,,,,,2222xyxyPMMCMBM2221334xyBM，它表示圆2221xy上点,xy与点1,33距离平方的14，2222max149333144BM，故选B．试卷第2页，总24页考点：1．向量的数量积运算；2．向量的夹角；3．解析几何中与圆有关的最值问题．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADCADBBDC，且2DADBDC，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,ABCD坐标，同时动点P的轨迹是圆，2221334xyBM，因此可用圆的性质得出最值．3．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且BC边上的高为2a，则cbbc最大值为（）A．2B．2C．22D．4【答案】C【解析】试题分析：由ABC的面积可得1sin22aabcA，即22sinabcA，代入余弦定理222cos2bcaAbc中，得222(cossin)bcbcAA，所以2(cossin)22sin()4cbAAAbc，当4A时，取得最大值22，故选C．考点：三角形的面积公式、余弦定理及三角函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积公式、余弦定理及三角函数的图象与性质等知识的综合应用，其中由ABC的面积，得22sinabcA，代入余弦定理，得出222(cossin)bcbcAA，即22sin()4cbAbc是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用．4．在ABCRt中，已知1,4BCAC，P是斜边AB上的动点（除端点外），设P到两直角边的距离分别为21,dd，则2111dd的最小值为（）A．45B．23C．49D．25【答案】C【解析】试卷第3页，总24页试题分析：由图知，设1dPD，2dPE由PBEAPD~，得221141dddd，整理得4421dd，441111212121dddddd12214411dddd4942451221dddd，故答案为C．考点：基本不等式的应用．5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b=a+c，则角B的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，即，，则B的范围是．考点：正余弦定理解三角形，基本不等式．【方法点睛】在利用正余弦定理解三角形时，知道三边之间的关系，一般情况下会选择余弦定理，此题求范围问题最容易与基本不等式结合，因为式子中出现平方和即．在由三角函数值的取值范围求角的取值范围时要注意画图象解决，并注意在三角形中角的范围是．评卷人得分二、填空题（题型注释）6．（2016高考江苏卷）在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则试卷第4页，总24页tantantanABC的最小值是．【答案】8．【解析】sinsin(BC)2sinsintantan2tantanABCBCBC，因此tantantantantantantan2tantan22tantantantantantan8ABCABCABCABCABC，即最小值为8．考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC中恒有tantantantantantanABCABC，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7．在ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、，且3cos3cosbCcBa，则tan()BC的最大值为.【答案】24【解析】试题分析：由正弦定理可得ABCCBsincossin3cossin3，又CBCBAcossin)sin(sinCBsincos，故CBBsincos2cossin，∴CBtan2tan，且0tanC，则CBCBCBtantan1tantan)tan(42221tan2tan11tan21tan2CCCC，当且仅当22tanC时取得等号.考点：1、正弦定理；2、三角恒等变换；3、基本不等式.【思路点睛】本题主要考查三角恒等变换即基本不等式.通过题给条件将边化为角，利用三角形内角和将角A转换为CB，进而利用和角公式对式子进行化简，从而得出CBtan2tan，由CBCBCBtantan1tantan)tan(，代入，消去Btan，最后用基本不等式求解最大值.8．在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且43AC，则ADC的面积的最大值为___________．【答案】34．【解析】试题分析：设xAD，yCD，由于ABD是等边三角形，0120ADC，34AC，0222120cos234xyyx，整理得xyyx2248，由基本不等式得xy348，16xy，34120sin210xyS．试卷第5页，总24页考点：1、余弦定理的应用；2、基本不等式的应用．9．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB上的点，且满足ACD4545oo，BCD，设AC,2，xBCyDC，则x，y满足的相等关系式是____________；三角形ABC面积的最小值是______。【答案】111xy，2【解析】试题分析：作,DEACDFBC1DFDE1111,1BDADxAByABxy11112xyxy1422xySxy，面积最小值为2考点：1．平面几何性质；2．均值不等式求最值10．在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.【答案】（62，6+2）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sinsinBCBEEC，即oo2sin30sin75BE，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sinsinBFBCFCBBFC，即oo2sin30sin75BF，解得BF=62，所以AB的取值范围为（62，6+2）.试卷第6页，总24页考点：正余弦定理；数形结合思想11．在△ABC中，内角ABC，，所对的边分别为abc，，，且BC边上的高为32a，则cbbc取得最大值时，内角A的值为．【答案】π6【解析】试题分析：由题意得：23311sinsin2222aabcAabcA，由余弦定理得：2222sin2cos,3abcAbcbcA所以2sin+2cos,3bcAAcb即24(sin+3cos)sin()333bcAAAcb，所以当6A时，cbbc取得最大值考点：余弦定理，三角函数最值12．已知ABC面积S和三边cba,,满足：8,)(22cbcbaS，则ABC面积S的最大值为________．【答案】1764．【解析】试题分析：因为22)(cbaS，所以AbccbaSsin21)(22，即Abcbccbasin212)(222，应用余弦定理222cos2acbAbc得：AbcbcAbcsin212cos2，化简并整理得：4sin1cosAA，又因为1cossin22AA，所以1sin)4sin1(22AA，解之得178sinA，所以ABC面积17642174174sin212cbbcAbcS．故应填1764．考点：正弦定理和余弦定理的应用．评卷人得分三、解答题（题型注释）13．（2016年高考北京理数）在ABC中，2222acbac．（1）求B的大小；试卷第7页，总24页（2）求2coscosAC的最大值．【答案】（1）4；（2）1．【解析】试题分析：（1）根据余弦定理公式求出cosB的值，进而根据B的取值范围求B的大小；（2）由辅助角公式对2coscosAC进行化简变形，进而根据A的取值范围求其最大值．试题解析：（1）由余弦定理及题设得22222cos222acbacBacac，又∵0B，∴4B；（2）由（1）知34AC，32coscos2coscos()4ACAA222coscossin22AAA22cossincos()224AAA，因为304A，所以当4A时，2coscosAC取得最大值1．考点：1．三角恒等变形；2．余弦定理．【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．14．（2016高考山东理数）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB，化简得2sincossincossinsinABBAAB，即2sinsinsinABAB．试卷第8页，总24页因为ABC,所以sinsinsinABCC．从而sinsin=2sinABC．由正弦定理得