高数上——微分方程的基本概念

一、问题的提出二、微分方程的定义四、小结思考题第一节微分方程的基本概念三、主要问题——求方程的解例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解)(xyy设所求曲线为xdxdy2xdxy22,1yx时其中,2Cxy即,1C求得.12xy所求曲线方程为一、问题的提出例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,tssst米秒钟行驶设制动后4.022dtsd0,t时14.0Ctdtdsv2122.0CtCts代入条件,201C02C,20dtdsv0,s,202.02tts,204.0tdtdsv故),(504.020秒t列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米s开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义分类1:常微分方程,偏微分方程.,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy分类2:按微分方程的阶数分类,xyy,32xeyyy,0)(2xdxdtxt分类3:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx分类4:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy对于未知函数y及其导数都是一次的,xyy,32xeyyy微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.微分方程的解:()yxI设函数在区间上存在.0))(,),(),(,()(xxxxFnn阶连续导数且有恒等式(),,,...0nFxyyy则称为方程在区间I上的解()yx(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,yy例;xCey通解,0yy;cossin21xCxCy通解解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.00yyxx000,0xxxxxyyyy过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶:二阶:0000,),,(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd例3验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.)0(k.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx0,txA,1AC所求特解为.cosktAx.02C12(sincos)dxkCktkCktdt00,tdxdt解12cossin,yCxCx12sincos,yCxCx,yy将和的表达式代入原方程1212sincos+sincos0CxCxCxCx+=0yy(0)2y例4验证：函数是微分方12sincosyCxCx(0)1,y程的通解，求满足初始条件的特解12sincos.yCxCx是原方程的解(0)1,y21.C所求特解为2sincos.yxx(0)2,y12.C12cossinyCxCx请你动手做(0)1y验证：哪些是微分方程的解？哪个是满足初始条件的特解？22sin2,,3xxyxyeye20yy微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．四、小结本节基本概念：