2018年广东中考数学总复习：第2部分-专题突破-专题十三-几何动态综合题

专题十三几何动态综合题考情分析2013～2017年解答题第23题均为几何动态综合题，分值为9分．一般以特殊平行四边形或三角形为背景，考查线段长度、角度、点的坐标、菱形或平行四边形的判定、直角或等腰三角形的存在性、与面积有关的函数关系式及最值，涉及解直角三角形、三角形的面积公式、勾股定理、二次函数的性质及最值等．题目一般有3～4问，第一问较为简单，熟练运用基础知识即可；后几问综合性较强，经常用到分类讨论、数形结合思想．类型点动型综合题例1如图1，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从(1,0)出发在x轴正半轴上运动，当点P第一次回到A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)求正方形边长及顶点C的坐标；(2)当点P在AB上时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出当t为何值时S最大；(3)如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1思路点拨解决几何动态问题的关键是“化动为静”，找出几何图形中的自变量与时间t或线段长x的关系，并用函数关系式表示出来，再结合已知条件和图象性质求解．训练1.如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm.点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．图2(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；(3)当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？2.(2017宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，①请直接填空：ON__________(可能，不可能)过D点；(图3仅供分析)②如图4，在ON上截取OE＝OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．(2)当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG＝1.在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO＝4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．图3图4备用图类型线动型综合题例2如图5，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm.点M从点A出发，在AC上以每秒2cm的速度匀速向点C运动，同时直线PQ从点B出发，沿BA的方向以每秒1cm的速度匀速运动，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F.连接PM，设运动时间为t秒(0＜t≤5)．图5(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．训练3.如图6，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合)．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.图6(1)若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式；(写出自变量t的取值范围)(2)线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？4.如图7，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BC＝20cm，AD＝10cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线l从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于M，N，E.当点P到达点C时，点P与直线l同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．(1)在运动过程中(点P不与B，C重合)，连接PN，求证：四边形MBPN为平行四边形；(2)如图8，以MN为边向下作正方形MFGN，FG交AD于点H，连接PF，PG，当0＜t＜103时，求△PFG的面积最大值；(3)在整个运动过程中，观察图8,9，是否存在某一时刻t，使△PFG为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．图7图8图9类型形动型综合题例3已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图10摆放(点C与点E重合)，点B，C(E)，F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm.如图11，△DEF从图10的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)(0＜t＜4.5)．解答下列问题：(1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．(3)是否存在某一时刻t，使P，Q，F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．图10图11训练5.如图12所示，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿射线AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿射线CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，如图13所示，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)当t＝__________时，PQ∥MN；(2)设△QMC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使得PQ＝QM，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图12图136.已知矩形OABC的顶点O(0,0)，A(4,0)，B(4，－3)．动点P从O出发，以每秒1个单位的速度，沿射线OB方向运动．设运动时间为t秒．(1)求P点的坐标；(用含t的代数式表示)(2)如图14，以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2，且边PQ⊥y轴．设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S，当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时，运动停止．①当t＜4时，求S与t之间的函数关系式；②当t＞4时，设直线MQ，MN分别交矩形OABC的边BC，AB于D，E，是否存在这样的t，使得△PDE为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．图14参考答案例1解：(1)如图1，过点B作BF⊥y轴于F，BE⊥x轴于E，过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，图1∵A(0,10)，∴OA＝10.∵B(8,4)，∴BF＝8，OF＝4.∴AF＝10－4＝6.∴AB＝AF2＋BF2＝10.∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠CBH＝90°.∵∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠BAF＝∠CBH.又AB＝BC，∠AFB＝∠BHC＝90°，∴△ABF≌△BCH.∴BH＝AF＝6，CH＝BF＝8.∴OG＝FH＝8＋6＝14，CG＝8＋4＝12.∴点C的坐标为(14,12)．(2)如图1，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，∴PM∥BF.则△APM∽△ABF，∴APAB＝AMAF＝PMBF.∴t10＝AM6＝PM8.∴AM＝35t，PM＝45t.∴PN＝OM＝10－35t，ON＝PM＝45t.∴S＝12PN·OQ＝12×10－35t(1＋t)＝－310t2＋4710t＋5＝－310t－4762＋8407360(0≤t≤10)．∴当t＝476时，S取到最大值．(3)OP与PQ可以相等，根据等腰三角形的相关性质可知，相等时P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半．①当P在AB上时，如图1，45t＝12(t＋1)，t＝53；②当P在BC上时，如图2，图2则PB＝t－10，sin∠ABF＝sin∠BPM＝AFAB＝BMPB，∴610＝BMt－10.∴BM＝35(t－10)．∴ON＝BF＋BM＝8＋35(t－10)＝12(t＋1)．解得t＝－15(舍去)；③当P在CD上时，如图3，过点C作CR⊥PN于R，则PC＝t－20，图3cos∠PCR＝cos∠BCH＝CHBC＝CRPC，∴810＝CRt－20.∴CR＝NG＝45(t－20)．∴ON＝OG－NG＝14－45(t－20)＝12(t＋1)，解得t＝29513.综上所述，当t＝29513或53时，OP与PQ相等．训练1.解：(1)∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，∴AB＝10cm.∵BP＝t，AQ＝2t，∴AP＝AB－BP＝10－t.∵PQ∥BC，∴APAB＝AQAC.∴10－t10＝2t6，解得t＝3013.即当t＝3013时，PQ∥BC.(2)∵S四边形PQCB＝S△ACB－S△APQ＝12AC·BC－12AP·AQ·sinA，∴y＝12×6×8－12×(10－t)·2t·810＝24－45t(10－t)＝45t2－8t＋24.即y关于t的函数关系式为y＝45t2－8t＋24.(3)△AEQ为等腰三角形分三种情况讨论：①如果AE＝AQ，那么10－2t＝2t，解得t＝52；②如果AE＝QE，如图4，过点E作EF⊥AQ于F，图4则F为AQ的中点，∴AF＝12AQ＝t.又AC⊥BC，∴EF∥BC.∴sin∠AEF＝sinB＝AFAE＝ACAB＝610.即t10－2t＝610，解得t＝3011；③如果AQ＝QE，可作QM⊥AE于M，同理可得cosA＝AMAQ＝ACAB，即10－2t22t＝610，解得t＝2511.故当t为52秒或3011秒或2511秒时，△AEQ为等腰三角形．2．(1)①解：不可能．【提示】若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2.∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2.∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过D点．②证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°，且∠HCF＝90°.∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.∵∠EFO＝∠B，OE＝OA，∴△OFE≌△ABO.∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝OB＋OC＝EF＋OC，∴CF＝EF.∴四边形EFCH为正方形．(2)解：如图5，∵∠POK＋∠BOG＝∠OGB＋∠BOG＝90°，图5∴∠POK＝∠OGB.∵∠PKO＝∠OBG，∴△PKO∽△OBG.∵S△PKO＝4S△OBG，∴S△PKOS△OBG＝OPOG2＝4.∴OP＝2.∴S△POG＝12OG·OP＝12×1×2＝1.∵S四边形PKBG＝S△POG＋S△PKO＋S△OBG＝1＋5S△OBG，∴只需求出S△OBG的最大值．设OB＝a，BG＝b，则a2＋b2＝OG2＝1，∴b＝1－a2.∴S△OBG＝12ab＝12a1－a2＝12－a4＋a2＝12－a2－122＋14.∴当a2＝12时，△OBG有最大值为14，此时S△PKO＝4S△OBG＝1.∴四边形PKBG的最大面积为1＋1＋14＝94.例2解：(1)若四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，∴AP∶AB＝AM∶AC.∵AB＝AC，∴AP＝AM，即10－t＝2t，解得t＝103.∴当t＝103时，四边形PQCM是平行四边形．(2)∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC.∴△