电动力学期末考试试题02级(标准答案)

华中师范大学2003–2004学年第二学期期末考试试卷（B卷）参考答案课程名称电动力学课程编号50112000任课教师胡响明、候德富题型判断题填空题简答题综合题总分分值20204020100得分院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------得分评阅人一、判断题：（20分，共10题，每题2分）如果命题正确，请在下列每题后面的小括号内打√，否则打×。1任何包围电荷的曲面都有电通量，但是散度只存在于有电荷分布的区域内。（√）2两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2，内球壳带电，外球壳接地，此时电位移保持球对称但电场不保持球对称。（×）3两不同介质表面的面电流度不改变磁场强度和磁感应强度的连续性。（×）4球对称电荷分布必定没有电四偶极。（×）5以一定的方式划分超导电流和磁化电流，超导体可以理解为完全抗磁体。（√）6趋肤效应的实质是电磁波与导体中自由电荷相互作用的结果。相互作用引起表层电流。这个表层电流使电磁波向空间反射，一部分能量透入导体内，形成导体表面薄层电流，最后通过传导电流把这部分能量耗散为焦耳热。（√）7若保持电偶极矩随时间振荡的振幅不变，则辐射正比于频率的立方。（×）8时空统一的根据只不过是从一个惯性系到另一惯性系的线性变换。（×）9当具有连续谱的电磁波投射到电子上时，时只有当电磁波的频率与电子的固有振动频率相等或者接近时才能被强烈吸收。（√）10电磁质量是与带电粒子的加速时激发的辐射场的能量联系的。（×）得分评阅人二、填空题（20分，共10题，每题2分）以下填空题中，所用到的符号必须说明其含义。1位移电流是由麦克斯韦首先引入的，其实质是电场的变化率。2写出电偶极矩pv产生的电势300)1(4141RRpRpπε⋅=∇⋅πε−=ϕvvvv，R为源点到场点的距离。3写出电荷分布为()xJvv的磁矩公式()∫×=VdVxJxm'''21vvv。4写出真空中电磁场的波动方程012222=∂∂−∇tEcEvv，012222=∂∂−∇tBcBvv，001εμ=c。5推迟势的本质是电磁作用具有一定的传播速度。6振荡的小线度电偶极矩产生的辐射为pRexAikR&vvvπμ=4)(0。7电偶极辐射是空间中的TM波。8电偶极辐射对球面积分后的总功率与球半径无关，电磁能量可以传播到任意远处。9静止μ子的寿命只有2.197×10-6秒，以接近光速运动时只能穿过660米。但实际上很大部分μ子都能穿过大气层到达底部。在地面上的参考系把这种现象描述为运动μ子寿命延长的效应。但在固定于μ子上的参考系把这种现象描述为运动大气层厚度缩小的效应。10在外电场作用下，介质电极化强度的实部和虚部分别代表介质对投射电磁波的色散和吸收。第1页(共4页)得分评阅人三、简答题（40分，共4题，每题10分）-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------1写出均匀介质中单色电磁波电场的复数表述形式、亥姆霍兹方程、平面波解及其相速。解：均匀介质中单色电磁波电场的复数表述形式()()tiexEtxEω−=vv,(1分)亥姆霍兹方程022=+∇EkEvv(2分)平面波解()ikxeExE0=，(2分)其中，E0是电场的振幅，k是波矢大小。场强的全表示式为()()tkxieEtxEω−=0,，(2分)其中ei(kx-ωt)代表波动的相位因子。对于实际存在的场强上式的实数部分()()tkxEtxEω−=cos,0(2分)平面波相速：με=ω=ν1k(1分)2写出电磁场的反对称四维张量、麦克斯韦方程的协变形式、电磁场的变换关系及具体的变换关系。解：电磁场的反对称四维张量νμμνμν∂∂−∂∂=xAxAF(2分)麦克斯韦方程的协变形式μνμνμ=∂∂JxF0，0=∂∂+∂∂+∂∂νλμμνλλμνxFxFxF(4分)电磁场的变换关系λτντμλ=FaaF'(2分)具体的变换关系1'1EE=，B1'1B=+γ=−γ=)(32'2vBEE−γ=，B)(32'2vEB)(23'3vBEE+γ=，B(2分))(23'3vEB3.说明引入磁标势描述磁场的条件及磁标势的含义，给出磁标势满足的微分方程和边值关系。解：引入磁标势描述磁场的条件是：在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环，就是说该区域是没有自由电流分布的单连通区域。(2分)磁标势的含义：ϕ−∇=Hv(2分)磁标势满足的微分方程02/μρ−=ϕ∇m(3分)mρ为磁化电流。边值关系为21ϕ=ϕ，nn∂ϕ∂μ=∂ϕ∂μ。(3分)22114.写出接地无穷大导体板以上半无穷大空间的格林函数。在无穷大导体平面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内电势为V0，导体板其余部分电势为0，选择柱坐标写出上半空间电势的格林函数计算公式（不要求完全计算，但要求计算到具有不为零的积分公式为止）。解：以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。上半空间的格林函数用柱坐标表出为(4分)()()()⎥⎥⎦⎤φ′φ′−′+′+′++−⎢⎢⎣⎡φ′φ′−′−′+′++πε=′-cos221-cos22141,222222220RRzzzRzRRRzzzRzRxxGvv因为在上半空间ρ＝0，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为()()()SxxGnxxS′′′∂∂′ϕε=ϕ∫d,0vvvv－(4分)先计算格林函数的法向导数()[]2322200-cos221φ′φ′−′++πε=′∂∂=′∂∂−=′RRRzRzzGnGz由于S上只有圆内部分电势不为零，所以只需对r≤a积分()()[][]()23222020232200202322200-cos211dd2-cos2dd2d−ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+φ′φ′−′++φ′′′πφ′φ′−′++φ′′′π=′′ϕ′∂∂ε−∫∫∫∫∫zRRRRzRRRzVRRRzRzRRVSxnGaa＝v(2分)第2页(共4页)得分评阅人四、综合题（20分）-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------1.空心导体球壳的内外半径为R1和R2，球中心放置一偶极子fPv，球壳上带电Q，求空间各点点势和电荷分布。OzPfR1R2ϕ0Qϕ2ϕ1解:(一)选坐标系。取原点在球心的球坐标，z轴沿Pf方向。(二)方程。(4分)空间各点的电势是偶极子产生的电势ϕf=Pf⋅R/4πε0R3与球壳上自由电荷产生的电势ϕ′之和。因为壳内、外没有自由电荷分布，故壳内外的电势ϕ1′和ϕ2′满足拉普拉斯方程：∇2ϕ′=0(三)对称性与通解的形式。本题有轴对称性，故通解为(4分)壳内：)(cos)(11θ++ϕ=ϕ∑+nnnnnndpRbRa壳外：)(cos)(11θ++ϕ=ϕ∑+nnnnnndpRbRa(四)边界条件和边值关系。(4分)(1)电荷分布在有限区域：0|2=∞→Rϕ①(2)球壳上的电荷在R=0处产生电势ϕ2′|R=0为有限②(3)设导体电势为ϕ0，由于界面上电势应连续及导体为等势体：21||201RRRR====ϕϕϕ③(4)球壳及壳内总电荷为Q：022εϕQdsRS=∂∂−∫④(五)定系数,得电势。(4分)由①知cn=0及)(cos12θϕϕnnnnpRd∑++=偶由②知bn=0及)(cos1θϕϕ∑+=nnnnpRa偶由③得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑0222001210)(cos4cos)(cos4cosϕθπεθϕθπεθnnnnfnnnnfpRaRppRaRp所以⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠===+==+=0,1)(n004042212200201121000nnffdaRdRpRdRaRpaπεϕπεϕ解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−==−=01200310144πεϕπεffpdRdRpa以及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ϕ=πεθϕ+ϕ=ϕπεθϕ+ϕ=ϕRRRpRRRRpfdfd2020202310014cos4cos－－由④可确定ϕ0020)(2ε=⋅ϕ∂∂−∫QdsRRRS022402220εϕQdRRR=Ω∫Ω所以2004RQπεϕ=第3页(共4页)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧πε=ϕπε⋅−πε+πε⋅=ϕRQRRpRQRRpff02310203014444球外：球内：vvvv其中：204RQπε是均匀分布在外球面上的自由电荷Q在壳内外所产生的电势；304RRPfπε⋅vv是位于球心的电偶极子在球内所产生的电势；3104RRPfπε⋅−vv是在电偶极子的场的作用下在球壳内表面感应电荷在球内所产生的电势。(六)求电荷分布(4分)(1)内表面（R=R1）2110114cos3||)0(11RpRDnfRRRRfπθ−=∂ϕ∂ε=−⋅=σ==vv(2)外表面（R=R2）2220224||)0(22RQRDnRRRRfπ=∂ϕ∂ε−=−⋅=σ==vv这表明自由电荷确实均匀分布在球壳外表面。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第4页(共4页)