轴对称的性质

初中数学八年级上册(苏科版)1.2轴对称的性质(1)教学目标①探索轴对称的基本性质；②理解线段垂直平分线的概念；③知道轴对称图形的对应线段相等、对应角相等的概念。教学重点理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等等概念”。教学难点理解对称轴是对称点连线的垂直平分线如图所示，在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A、A′．两针孔A、A′与折痕l之间有什么关系？线段AA′呢？A●●AA′●●ll操作与交流所以线段OA、OA′重合，因为∠1=∠2且∠1+∠2=180°，即O是AA′的中点．所以∠1=∠2=90°．lAA′●●2o1所以l垂直且平分AA′．因为把纸沿折痕l折叠时，点A、A′重合，垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（midpointperpendicular).lAA′●●如图，对称轴l就是对称点A、A′连线(即线段AA′)的垂直平分线．如图，在纸上再任画一点B，同样地，折纸、穿孔、展开，并连接AB、A′B′、BB′．线段AB与A′B′有什么关系？线段BB′与l有什么关系？A′B′l如图，再在纸上任画一点C，并仿照上面进行操作．2.∠A与∠A′有什么关系？∠B与∠B′呢？△ABC与△A′B′C′有什么关系？为什么？1.线段AC与A′C′有什么关系?BC与B′C′呢？线段CC′与l有什么关系？3.轴对称有哪些性质？ACBA′B′●C′l1.成轴对称的两个图形全等．2.如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．轴对称的性质：ACBA′B′●C′l●●●●ADCB●●●●FEHGl例1小明取一张纸对折，然后用小针在对折的纸上扎出“4”，将纸打开后铺平．(1)图中两个“4”有什么关系？解：(1)图中两个“4”关于直线l成轴对称．●●●●ADCB●●●●FEHGl(2)图中点A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD=，∠CAB=，∠ACD=.E、G、F、HEF、EGFH∠FEG∠EFH●●●●ADCB●●●●FEHGl(3)连接AE、BG，则折痕l与线段AE、BG有什么关系？并用测量的方法验证．解：(3)直线l是线段AE、BG的垂直平分线(验证略)．(4)AE与BG平行吗？为什么？因为A和E，B和G是关于直线l的对称点，●●●●ADCB●●●●FEHGl所以l⊥AE，l⊥BG．所以AE∥BG．解：(4)平行．(5)AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？解：(5)不一定．●●●●ADCB●●●●FEHGl如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．●●●●ADCB●●●●FEHGl(6)延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗？轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．小结(1)成轴对称的两个图形全等．(2)如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．1.轴对称的性质：2.轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．3.轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．思考题：请求出下图方格纸中7个角的和．1234567⒋下列说法不正确的是（）A.两个关于某直线对称的图形一定全等B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧C.两个轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称（第8题）填空题⒌右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为.⒍计算器的显示器上数字，这十个数字中是轴对称图形的数字是__________________⒎线段的对称轴有__________条，是________________________________，等腰三角形的对称轴是_______________.⒏数的运算中有一些有趣的对称式，如12×231=132×21,请你仿照这个等式填空：__________×462=__________×__________.初中数学八年级上册(苏科版)1.2轴对称的性质(2)教学目标1.进一步了解轴对称图形的基本性质。2.能够画出简单的轴对称图形。重点轴对称的性质和轴对称的应用。难点轴对称性质的应用；画出轴对称图形学法指导探索、合作、交流教具准备多媒体一、什么是垂直平分线？二、轴对称的性质？（对称点连线、对称线段所在直线的有关结论？）CABFDE1.如图，两个三角形成轴对称，你能画出对称轴吗？与同伴交流你的做法．方法一：练一练CABFDE方法二：CABFDE●●方法三：基础训练1.若线段AB和A′B′关于直线l对称,则AB=A′B′()2.若线段AB和A′B′在直线l的两旁,AB=A′B′,则线段AB和A′B′关于直线l对称()3.若点A与A′到直线l的距离相等,则若点A与A′关于直线l对称()4.若△ABC≌△A′B′C′,则△ABC和△A′B′C′,关于某直线对称()√×××(一)判断想一想如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形。BACD1D2D3D4(二)如果直线l外有一点A,那么怎样画出点A关于直线l的对称点A′?●●AA′lO┏变:如果直线l外有线段AB,那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′?●●AA′lOB●●B′llABABA′B′A′B′1.如图，画出△ABC关于直线MN的对称图形.AA′CBB′C′NM●●●NMACBFEDHPGQ如右图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN的对称,ACBD交于P,怎样找出点P关于直线MN的对称点Q?成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称拓展与操作2.练习创新P7例1如图，△ABC中，∠C=900⑴在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；⑵画一个三角形与△ABC关于直线AD对称.2.下图是由半圆和三角形组成的图形,请以AB为对称轴,作出图形的另一半(用尺规作图,保留作图痕迹)●AB例2在一条笔直的河的两岸各有一个居民点A、B两点，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A和B两地的居民走的路最短？变式：若点A、B在河的同岸呢？ABlABl变:如图，已知，∠AOB内有一点P，求作△PQR，使Q在OA上，R在OB上，且使△PQR的周长最小.ABO●PP′P″RQ探究活动FBACED已知:如图,CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试问怎样撞击黑球A，使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B？■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上一定点,则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?CABDPE■变式：设正三角形ABC的边长为2，M是AB上的中点,在BC边上找一点,使PA+PM的最小?MABCP■如图,OA、OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立一个投递点,要想使邮电员每次投递路程最近,问投递点应设立在何处？EFNMOPAB已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线。过P作河流的垂线，垂足为A，并延长至P‘，使得P’A=PA过P‘作草地的垂线，垂足为M，交河流于B点，连接PB则PB、BM为最短放牧路线。在几何课本中有这样一个问题：如图,要在河边修建一个水泵站,向张庄、李庄送水.修在河边什么地方,可使使用的水管最短？baAB动脑筋■如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近.baAB如图,A、B是直线L同侧的两定点,定长线段PQ在L上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短？aABPQ动脑筋回顾与思考通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ADCBNMA′1000m迁移与应用变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC≠BD，若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？ADCBMA′已知：点A、B位于直线m两侧，你能在直线m上取一点P，使AP、BP分别与直线m的夹角相等吗？如果存在这样的点，请画图说明，如果不存在，请举出反例.