线性代数在投入产出中的应用

1一、摘要投入产出模型是利用线性代数方法和电子计算机手段,研究经济活动的投入与产出间数量依存关系的一种经济数学模型.投入产出模型是企业实现全面计划管理最适用而有效的工具。静态投入产出模型在我因企业的应用研究已日趋成熟.一些大、中型企业成功地建立和应用投入产出模型,收到了明显的经济效益。然而,到目前为止,投入产出技术远未在企业得到普及.例如,在重庆市,企业投入产出模型的编制与应用才刚刚起步.笔者以为,针对企业的具体生产工艺特点,灵活地运用投入产出技术,编制适用的投入产出模型及应用程序,普及推广投入产出技术,促进企业管理现代化乃是当前企业投入产出应用研究之主要方向。关键词：线性代数数学建模投入产出企业管理二、问题的提出1、背景：在经济学中，经常要研究多个经济部门之间的投入产出关系。针对这个问题，利用线性方程组的有关知识建立相应的数学模型，深入分析经济部门之间的投入产出关系。在研究多个经济部门之间的投入产出关系时,W.Leontief提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段.W.Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.2、待解决的问题：用线性代数方法，建立数学模型，利用MATLA得出结果。简而言之，就是结合数学软件解决线性代数在企业投入产出模型的运用。三、问题的分析根据企业投入产出，按行建立的分配方程或产出方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限（参见投入产出表）的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用情况，平衡关系是：中间产品+最终产品=总产品。按列建立的生产方程组或投入方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程，平衡关系是:物质消耗转移价值+新创造价值=总产值，即式中：Vj为j部门提供的劳动报酬；Mj为j部门创造的社会纯收入。分配方程组模型对价值型和实物型表都适用，而生产方程组仅对价值型表适用。在经济分析方面：可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等编制计划的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调2整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法四、建模过程4.1利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型4.1.1模型分析1.投入产出表的结构设某企业的生产体系划为三个部门，2008年度三个部门的生产与消耗情况如表1所示。表1单位：亿元产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产出部门一部门二部门三生产部门部门一部门二部门三18242010128129163830431006080新创造价值601536总产品价值1006080①表1结构：生产部门，消耗部门，部门间流量，最终产品，总产出，新创造价值，总产品价值。②水平方向表示的是每个部门总产出（也叫总产值）的分配情况。每个部门的总产出应等于提供给各部门消耗的中間产品与最终产品的价值量之和。③表1的竖直方向，反映的是每个部门总投入的构成情况。每个部门的总投入应等于其所消耗的部门产品与新创造价值量之和。④结论：每个部门的总投入与总产出是相互平衡的。列举经济网络系统各部门的投入产出关系的表，称为投入产出表。以货币计量单位编制的投入产出表叫做价值型投入产出表。表1就是价值型投入产出表。一般地，价值型投入产出表的基本结构，见表2。3表2价值型投入产出表表2中有关数据的经济意义如下：表示第部门总产出的价值量，或是第部门总投入的价值量；表示第部门生产的用作最终使用部分的产品的价值量；表示第部门分配给第部门的产品的价值量，或第部门消耗第部门生产的产品的价值量。该量又称为部门间的流量；表示第部门发给劳动者的劳动报酬；表示第部门创造的纯收入；表示第部门新创造的价值量（增加值）。表2分成四部分，分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，如表3所示。产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产出消费积累合计生产部门新创造价值劳动报酬纯收入合计总投入4表3价值投入产出表的表式结构消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加值。第Ⅰ象限:行方向表明某部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。第Ⅱ象限：由个部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成；第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与个部门的各列交叉而成，反映了国民收入的初次分配情况；第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映国民收入再次分配情况。一般空出不用。2、平衡方程组(1)分配方程组由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用去向。平衡关系是：中间产品+最终产品=总产出。由此列出的方程组为产出部门间流量投入中间使用最终产品总产出消费积累合计中间投入ⅠⅡ增加值劳动报酬ⅢⅣ纯收入合计总投入5（1）或简记为称方程组(1)或（2）叫做产出分配平衡方程组，简称分配方程组。（2）投入方程组由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程。平衡关系是:中间投入+增加值=总投入。由此列出方程组为（2）或简记为称方程组(3)或（4）叫做投入构成平衡方程组，简称投入方程组。4.1.2模型应用某地区的支柱产业分为有四个产业，分别是制造、通信、服务与能源。在过去一年内，产业间流量和总产出如表3-4所示。求：各产业的最终产品的价值；各产业新创造的价值。表4单位：亿元6产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产出制造通信服务能源生产部门制造通信服务能源3604804002002002401602802401803203003503202602202000170018001600新创造价值总产品价值2000170018001600解（1）各产业的最终产品的价值可由分配方程组得到。列分配方程组为4444342414334333231322423222121141312111yxxxxxyxxxxxyxxxxxyxxxxx代入数据为43212202603203501600300320180240180028016024020017002004004803602000yyyy从而得各部门的最终产品的价值为4507608205604321yyyy7（2）各产业新创造的价值可由投入方程组得到。列投入方程组为4444342414334333231322423222121141312111zxxxxxzxxxxxzxxxxxzxxxxx代入数据为43212203002802001600260320160400180032018024048017003502402003602000zzzz从而得各部门新创造的价值为6006604808504321zzzz4.2利用直接消耗系数表示的投入产出数学模型4.2.1模型分析1.直接消耗系数①定义定义1经济系统第部门生产单位价值产品所直接消耗第部门的产品价值量，称为第部门对第部门的直接消耗系数，记为。即.（3）由个部门相互之间的直接消耗系数构成的阶方阵，称为直接消耗系数矩阵。8记作②性质：性质1；性质2()。2.平衡方程组的解在直接消耗系数矩阵已知的前提下，求各部门的最终产品与各部门的总产量。①分配方程组的解由直接消耗系数定义，得将其代入分配方程组（1），得（4）或简写为设,则（4）式可用矩阵形式表示为（5）这里是直接消耗系数矩阵。由（5）可得，9（6）可以证明矩阵是可逆矩阵，即存在，从而有（7）②投入方程组的解将代入投入方程组（2）式，可得（8）或简写为由（8）式得出（9）（10）4.2.2模型应用1、计算上题的经济系统的直接消耗系数矩阵。解由公式，得18.01001811111xxa10.01001012121xxa1012.01001213131xxa40.0602421212xxa20.0601222222xxa15.060923232xxa25.0802031313xxa10.080832323xxa20.0801633333xxa从而，此经济系统的直接消耗系数矩阵为20.015.012.010.020.010.025.040.018.0A2.设某经济系统有三个部门，在某一生产周期内各部门间的直接消耗系数及最终产值见表5。求：（1）各部门的总产出；（2）各部门新创造价值；（3）部门间流量。表5单位:万元产出直接消耗系数投入中间使用部门一部门二部门三中间投入部门一部门二部门三0.250.100.100.200.200.100.100.100.2011解（1）设三个部门总产出，，组成矩阵，直接消耗系数矩阵与最终产值矩阵分别为20.010.010.010.020.020.010.010.025.0A，17590245Y.由可得，1759024520.0110.0110.0110.0120.0120.0110.0110.0125.011X1759024511617201911834181812689110300250400即三个部门在一个生产周期内的总产值分别为400、250、300万元。(2)根据新创造价值的计算公式（9）式，得(万元)(万元)(万元)即三个部门在一个生产周期内新创造价值分别为180、150、180万元。12(3)由可计算出部门间流量分别为该经济系统的投入产出表如下表6所示：表6单位：万元产出部门间流量投入中间使用最终产品总产出部门一部门二部门三中间投入部门一部门二部门三100253080503040256024590275400250300新创造价值180150100总投入4002503004.3利用完全消耗系数表示的投入产出数学模型4.3.1模型分析1．定义：第部门生产单位价值产品直接和间接消耗的第部门产品的价值量总和，称为第部门对第部门的完全消耗系数，记作()。例如：设某个经济系统划分为三个部门，讨论第二个部门对第一个部门的完全消耗系数。解我们把三个部门之间的消耗关系用下图表示，实线表示直接消耗，虚线表示间接消耗，箭头起点为生产部门，指向为消耗部门。13图3-1设第二部门对第一部门的完全消耗系数为，第二部门通过第三部门间接消耗第一部门的产品价值，由已知第三部门生产一个单位价值的产品完全消耗第一部门产品价值为，而第二部门生产一个单位价值的产品直接消耗第三部门产品价值为，那么第二部门生产一个单位价值的产品通过第三部门而间接消耗第一部门产品价值为，第二部门通过第()部门间接消耗第一部门的全部产品的价值量为。所以第部门对第部门的完全消耗系数为()(11)由经济系统所有相互之间的完全消耗系数构成的阶方阵，称为完全消耗系数矩14阵，记作利用矩阵运算，式(11)可写成矩阵形式(12)其中与分别是经济系统的直接消耗系数矩阵与完全消耗系数矩阵。将(12)式变形为(13)因为矩阵可逆，所以即(14)4.3.2模型应用假设某公司三个生产部门间的投入产出如表7所示：表7中间使用最终产品总产出123中间投入12310005005012012006007507522530030037550060075015求各部门间的完全消耗系数矩阵。解依次用各部门的总产值去除中间使用栏中各列，得到直接消耗系数矩阵为3.01.01.01.02.02.01.01.02.0A而7.01.01.