第三讲-洛朗级数

工程数学II课程教案授课时间：第周周第节课时安排课次__授课方式（请打√）：理论课□讨论课□实验课□习题课□综合课□其他□授课题目（教学章、节或主题）：§4.4洛朗级数．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练地把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数．2．理解双边幂级数的概念与性质；熟悉洛朗展开定理．教学重点及难点：重点：把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数．难点：双边幂级数的概念与性质；洛朗展开定理．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§4.4洛朗级数一个以z0为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果f(z)在z0处不解析,则在z0的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.讨论下列形式的级数:100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcczzczz001000101001()()()()()()()()nnnnnnnnnnczzcczzczzczzczzczz正幂项部分负幂项部分只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和.正幂项是一幂级数,设其收敛半径为R2：02.zzR对负幂项,如果令z=(z-z0)-1,就得到：201211(),nnnnnnczzccc这是z的幂级数,设收敛半径为R：011RzzRR。则当|z-z0|R1时,即|z|R,011()nnnnnncczz收敛。因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.例如级数10()nnnnnnazabzb与为复常数11,1,nnnnnaaazzz中的负幂项级数当0||||,||||.||||nnnzzazbabb即时收敛而正幂项级数,则当时收敛所以当时,原级数在||||||||||.azbab圆环域收敛;当时,原级数处处发散幂级数在收敛圆内的许多性质,级数100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcczzczz在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看下例.1()01,(1)fzzzzz函数在及都不解析但在圆环域0||10|1|1zz及.0||1z内都是解析的先研究的情形:21111()1.(1)1nfzzzzzzzzz,()0||1fzz由此可见在内是可以展开为z的幂级数。其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:111()(1)11(1)fzzzzzz0R1R221211[1(1)(1)(1)]1(1)1(1)(1)(1)nnzzzzzzzz定理设f(z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析,则0()()nnnfzczz，101()d.(0,1,2,)2π()nnCfcniz其中，C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.[证]设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2,K2的半径R大于K1的半径r,且使z在K1与K2之间.由柯西积分公式得，211()1()()2π2πKKfffzddiziz0220,,,1.zzKzKz对第一个积分在上在内,和泰勒展开式一样可以推得2201001()1()()2π2π()nnnKKffddzzizizR1R2zrK1RK2z0111()d.,2πKfKiz第二个积分由于在上010,1.zzKzz点在的外部因此0001111zzzzzz10011100()1(),()()nnnnnnzzzzzz11101101()1()dd()(),2π2π()NnNnnKKffzzRziziz1100()()1()d2π()nNnnNKzfRzizz其中。000,01||zrqqzzzz令则因此有100001|()||()|d2π||nNnKzfRzszzz1112π.2π1NnnNMMqqrrq11|()|MfzK是在上的最大值lim0,lim()0NNNNqRz因为所以。因此00001()()()(),nnnnnnnnnfzczzczzczz2110101()d,(0,1,2,);2π()1()d,(1,2,)2π()nnKnnKfcnizfcniz如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C,则根据闭路变形原理,这两个式子可用一个式子来表示:101()d,(0,1,2,)2π()nnCfcniz0101()()(),d,(0,1,2,)2π()nnnnnCffzczzcniz于是称为函数f(z)在以z0为中心的圆环域:R1|z-z0|R2内的洛朗(Laurent)展开式,它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数.一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f(z)的洛朗级数.根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算,代换,求导和积分等方法去展开,以求得洛朗级数的展开式.例1112fzzz把在复平面上展开为z的幂级数。解函数f(z)在圆环域i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.先把f(z)用部分分式表示:11().12fzzzCz0R1R2xyO1xyO12xyO2i)0||1z在内:111()1212fzzz22221137(1)1.222248zzzzzzii)在1|z|2内：111111()1122112fzzzzzz222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzziii)在2|z|+内:111111()121211fzzzzzzz22234111124(1)(1)137.zzzzzzzzz例2把函数13()e0||zfzzz在内展开成洛朗级数[解]因有23e12!3!!nzzzzzn133234321111e(1)2!3!4!1102!3!4!zzzzzzzzzzzz一个函数f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.例如在z=i和z=-i处展开函数12()()ifzzzi为洛朗级数。在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:|z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式;2)在1|z-i|2中的洛朗展开式;3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:1)在0|z+i|1中的洛朗展开式;2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。特别的，当洛朗级数的系数公式101()d.(0,1,2,)2π()nnCfcniz1n时，有11()2CCfzdzi1()2CfzdziC。（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析.例３00130()zzzzrezzdz求积分解01300()()0zzfzezzzz在内解析，1Laurent0C其系数120.iC例421ln1zdzz求积分。解111(1)ln11nnnzzzn11C2.i例5求积分121zzzedzz.i0Oii解函数1()1zzefzz在1|z|+内解析,|z|=2在此圆环域内,把它在圆环域内展开得122211111()1112!1251.2zfzezzzzzzz故c-1=-2,12ic原式=。作业和思考题：第四章习题162),3),4),6)；192),4)．．课后小结：在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.