2013届高考数学一轮复习讲义：12[1].1 随机事件的概率

主页一轮复习讲义随机事件的概率主页1．随机事件和确定事件(1)在一定条件下，必然会发生的事件叫做．(2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做．(3)统称为确定事件．(4)的事件，叫做随机事件．(5)和统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．忆一忆知识要点必然事件不可能事件必然事件与不可能事件在一定条件下，可能发生也可能不发生确定事件随机事件要点梳理主页2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的fn(A)稳定在某个上，把这个记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．忆一忆知识要点nAn频率常数常数要点梳理主页3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B事件A(或称事件A包含于事件B)(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B和事件若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的A＋B忆一忆知识要点包含B⊇A和事件A＝B要点梳理主页3．事件的关系与运算交事件若某事件发生当且仅当且，则称此事件为事件A与事件B的交事件AB互斥事件若AB为不可能事件，则事件A与事件B互斥AB＝∅对立事件若AB为不可能事件，A＋B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB＝∅P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1忆一忆知识要点事件A发生事件B发生要点梳理主页4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率P(E)＝.(3)不可能事件的概率P(F)＝.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝．②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝．忆一忆知识要点0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．随机事件和随机试验是两个不同的概念在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，条件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．2．对概率定义的进一步理解(1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．主页(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．(3)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法．主页3．互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．主页例1一口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任取两球．记“取到一白一黑”为事件A1，“取到两白球”为事件A2，“取到两黑球”为事件A3.解答下列问题：(1)记“取到2个黄球”为事件M，判断事件M是什么事件？(2)记“取到至少1个白球”为事件A，试分析A与A1、A2、A3的关系．事件的分类与事件关系的判断紧扣事件的分类和事件关系的定义作答．主页解(1)事件M不可能发生，故为不可能事件．(2)事件A1或A2发生，则事件A必发生，故A1⊆A，A2⊆A，且A＝A1＋A2.又A∩A3为不可能事件，A∪A3为必然事件，故A与A3对立．在分析事件的关系时，要特别注意试验前提，关注“试验”和“事件”是解决概率问题的关键．探究提高主页某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.变式训练1解(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．主页(2)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“什么报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．主页例2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率mn(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？随机事件的频率与概率(1)将m，n的值逐一代入mn计算．(2)观察各频率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估计概率．主页解(1)击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.93,0.89,0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.利用概率的统计定义求事件的概率是求一个事件概率的基本方法，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，就用事件发生的频率趋近的常数作为事件的概率．探究提高主页某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)变式训练2主页解(1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.主页例3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．互斥事件、对立事件的概率明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件求解．主页解(1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.主页(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.主页(1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．探究提高主页国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．变式训练3解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．主页(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”．∴P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.主页(14分)抛掷一枚骰子，事件A表示“朝上一面的点数是奇数”，事件B表示“朝上一面的点数不超过2”．求：(1)P(A)；(2)P(B)；(3)P(A＋B)．易错警示忽略概率加法公式的前提条件致误学生解答展示主页审题视角(1)基本事件总数为6，事件A包括3个基本事件，事件B包括2个基本事件．(2)事件A与事件B并不互斥，事件A＋B包括4个基本事件．规范解答解基本事件总数为6个．[2分](1)事件A包括出现1,3,5三个基本事件，∴P(A)＝36＝12.[6分](2)事件B包括出现1,2两个基本事件，∴P(B)＝26＝13.[10分]主页(3)事件A＋B包括出现1,2,3,5四个基本事件，∴P(A＋B)＝46＝23.[14分]批阅笔记(1)本题重点考查了随机事件的概率，尤其是事件间的关系．(2)本题易错原因是学生错用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来解决，因为这个公式的前提条件是A、B彼此互斥，而本题中的事件A、B并不互斥．所以在应用公式时，要特别注意是否具备应用公式的条件．主页1．必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发生的，当条件变化时，事件的性质也发生变化．2．必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况，因此，任何事件发生的概率都满足：0≤P(A)≤1.3．随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解．方法与技巧主页1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．失误与防范