73考研数学教案

1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称概率统计授课对象2008软工授课题目1．1随机试验-1．2样本空间、随机事件课时数2教学目的通过教学使学生了解必然现象与随机现象、样本空间、随机事件、事件的关系的关系与运算等概念重点难点(1)重点：随机试验、样本空间、事件的关系的关系与运算的概念；(2)难点：事件的关系的关系与运算。教学提纲第一章概率论的基本概念§1．1随机试验1.必然现象与随机现象2.随机试验3．概率论与数理统计的研究对象§1．2样本空间、随机事件1.样本空间2．随机事件3．事件的关系的关系与运算(1)事件的包含关系(2)事件的相等(3)并(和)事件与积(交)事件(4)差事件(5)对立事件(6)互不相容事件（互斥事件）4、事件的运算法则1)交换律2)结合律3)分配律4)对偶原则2教学过程与内容教学后记第一章概率论的基本概念§1．1随机试验1.必然现象与随机现象在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象，这些现象大体可分为两类：一类是确定的，例如“在一个标准大气压下，纯水加热到100C时必然沸腾。”确定结果的现象称为必然现象（确定性现象）；另一类现象是随机的，例如：在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，不论如何控制抛掷条件，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么，即在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。2.随机试验一个试验如果满足下述条件：1.试验可以在相同的条件下重复进行；（可重复性）2.试验的所有可能结果不止一个，并且在试验前就知道所有结果；（范围的确定性）3.试验之前却不能确定出现哪一个结果。（随机性）称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也简称为试验，今后讨论的试验都是指随机试验。3．概率论与数理统计的研究对象概率论是从数量侧面研究随机现象及其统计规律性的数学学科，它的理论严谨，应用广泛，并且有独特的概念和方法，同时与其它数学分支有着密切的联系它是近代数学的重要组成部分。数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究，就是利用概率论的结果，深入研究统计资料，观察这些随机现象并发现其内在的规律性，进而作出一定精确程度的判断，将这些研究结果加以归纳整理，形成一定的数学模型虽然概3率论与数理统计在方法上如此不同，但做为一门学科，它们却相互渗透，互相联系。§1．２样本空间、随机事件随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。1.样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.例1．一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令ii取得球的标号为，则10,,3,2,1。例2．在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间：ZYXCBA,,,,,空格，例3．讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为,2,1,0这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。例4．讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为,或ba,2．随机事件中的元素称为样本点，常用表示。(1)样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2)样本空间的单点子集称为基本事件。(3)实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4)必然事件S或。4(5)不可能事件。3．事件的关系的关系与运算(1)事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，记作BA。(2)事件的相等设A,B,若BA，同时有AB，称A与B相等，记为A=B，(3)并(和)事件与积(交)事件设BA,,称事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作BA.推广：设n个事件nAAA,,,21，称“nAAA,,,21中至少有一个发生”这一事件为nAAA,,,21的并，记作nAAA21或niiA1设BA,，称“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作BA或BA推广:设n个事件nAAA,,,21，称“nAAA,,,21同时发生”这一事件为nAAA,,,21的积事件。记作nAAA21或nAAA21同样积事件的概念也可以推广为可列个事件的情形。(4)差事件设BA,，称“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作BA(5)对立事件称“A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。AAAAA(6)、互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即AB，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。注意：任意两个基本事件都是互斥的。(7)完备事件组若事件满足SAAAn21，jiAA，则称nAAA,,,21为完备事件组4、事件的运算法则1)交换律BAABABBA,52)结合律BCACABCBACBA,3)分配律CBCACBA4)对偶原则BABA，BABA例：A,B,C是中的随机事件，试用A,B,C表示下列事件。1)A与B发生而C不发生CAB或CAB2)A发生，B与C不发生CBA或CBA3)恰有一个事件发生CBACBACBA4)恰有两个事件发生CABCBACAB5)三个事件都发生ABC6)至少有一个事件发生ABC或3)4)5)之并CBCACBA6泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称概率统计授课对象2008软工授课题目§1.3概率与频率-§1.4古典概型课时数2教学目的通过教学使学生了解频率、概率古典概型的概念，掌握概率的性质。会计算各种古典概型问题重点难点(1)重点：解频率、概率古典概型的概念，掌握概率的性质，古典概型计算；(2)难点：概率的性质的证明、古典概型计算。教学提纲§1.3概率与频率1.事件发生的频率2、概率的定义（公理化定义）3、概率的性质不可能事件的概率为0；有限可加性；减法公式；对立事件的概率；法公式§1.4古典概型古典概型的概念，计算公式如下)(AP=基本事件总数包含的基本事件数Ank。1.摸球问题2.分房问题3.抽签原理4.几何概率7教学过程与内容教学后记§1.3概率与频率1.事件发生的频率在相同的条件下，进行n次试验，事件A发生的次数An叫A发生的频数，比值)(AfnnnA叫事件A发生的频率。频率的性质：（1）1)(0Afn（2）1)(Sfn（3）若kAAA,,,21是两两互不相容的事件)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf当n逐渐增大时)(Afn趋于稳定性；2、概率的定义（公理化定义）定义：设E是随机实验，S是样本空间，)(Ap是E的事件集S2到是书记之间的函数，如果函数)(p满足（1）非负性：0)(Ap（2）规范性：1)(Sp（3）可列可加性：若,,21AA是两两互不相容的事件，则)()()(2121AfAfAApnn3、概率的性质1）不可能事件的概率为0，0)(p)()()()(pppp又0)(p所以0)(p2）概率具有有限可加性：即若iAjA=（nji1），则)(1niiAP=)(1niiAP；证：根据可列可加性：令21nnAA即可；3）若AB则P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)P(A)8一般地。P(A-B)=P(A)-P(AB)减法公式证：)(),(,ABAABABBA)()()(BApApBp4)对任一事件A,P(A)1；证：SA，1)()(SpAp5）对任一随机事件A，有P（A）=1-P（A）；证：)()()()(1ApApAApSp，6）对任意两个事件A、B，有P(BA)=P(A)+P(B)-P(AB)加法公式证：)(),(ABBAABBABA)()()(ABBApBAp)()()(ABpBpAp§1.4古典概型先讨论一类最简单的随机试验，它具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。)(AP=基本事件总数包含的基本事件数Ank。所以在古典概型中，事件A的概率是一个分数，其分母是样本点（基本事件）总数n，而分子是事件A包含的基本事件数k。例1一枚硬币重复抛掷两次，求(1)两次正面朝上的概率；(2)恰好一次正面朝上的概率；(3)至少一次正面朝上的概率。,4/3)(,4/2)(,4/1)(111ApApAp1.摸球问题例2.在袋子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求（1）两个球都是白球的概率，（2）两球颜色相同的概率，（3）至少有一个白球的概率。设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球9基本事件总数为26C=15A的有利样本点数为624C,P(A)=52156B的有利样本点数为122C,P(B)=151P(A+B)=P(A)+P(B)=157P(C)=1-P(B)=1514例3.再上题中，取球方法改成有放回。P(A)=4*4/(6*6)=4/9P(B)=2*2/(6*6)=1/9P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例4：一套五册的选集，随机地放到书架上，求第一卷放在最左侧第五卷放在最右侧概率。P(A)=3!/5!=1/202.分房问题例5：设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求每个房间至多有一个人的概率。解：因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每间房住多少人），所以n个人住的方式共有nN种，它们是等可能的。每个房间至多有一个人，则第一个人有N种选法，第二个人有1N种选法，…,第n个人有1nN种选法.n个人共有nNPnNNN)1()1(选法。nnNNPP例6：将3个小球随机地放入4个盒子中求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率。解：3个球放入4个盒子法有34种（1）盒子中球的最多个数为1，有34P种33414PP=8310（2）盒子中球的最多个数为2，即3个球分别放入4个盒子中的2个盒子中，放法为24P,其中一个盒子中有2个球，另一个盒子中有1个球，这一个球从3个球中任取，取法为组合数为13C,所以该事件包含的基本事件数为：24P13C=3616943632P（3）盒子中球的最多个数为3，即3个球分别放入4个盒子中的1个盒子中，放法为14P,3344P=1613.抽签原理抽签原理：有a个上签，b个下签，k个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，第i个人抽到上签的概率都是baa证：放回抽样结论是显然的；不放回抽样baapPapkbakba114.几何概率在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。例如，若我们在一个面积为S的区域中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域中有任意一个小区域A，若它的面积为AS,则点A落在A中的可能性大小与AS成正比，而与A的位置及形状无关